Понятие обобщенных функций. Свойства. Операции

Обобщенные функции были введены в связи с трудностями решения некоторых задач математической физики, квантовой механики, электромагнетизма и т. д., где помимо непрерывных функций, описывающих непрерывно распределенные величины (масса, источники тепла, механический импульс и др.), понадобилось использовать разрывные функции для сосредоточенных величин (точечная масса, точечный источник тепла, сосредоточенный импульс и др.).

Из разрывных функций важную роль сыграла единичная функция θ(x), определенная следующим образом (рис. 3.1):

Эта функция была введена в 1898 г. английским инженером Хевисайдом для решения операционными методами некоторых дифференциальных уравнений теории электрических цепей.

Рис. 3.1. Функция Хевисайда

В 1926 г. английский физик Дирак ввел в квантовой механике символ δ, названный им дельта-функцией, которая явилась первой систематически применяемой обобщенной функцией. С физической точки зрения δ-функция Дирака представляет собой плотность единичного заряда, помещенного в начале координат. Если этот заряд имеет величину m, то его плотность

Отсюда следует, что дельта-функция δ (x) обладает свойствами

(3.1)

Свойства этой функции хорошо интерпретируются при рассмотрении фундаментального соотношения

(3.2)

справедливого для любой функции f(x), непрерывной при x = 0.

Заметим, что, строго говоря, δ(x) не представляет собой функцию, так как не существует функций, удовлетворяющих соотношениям (3.1 и 3.2). Но если интерпретировать последнее соотношение как функционал, т.е. как процесс придания функции f(x) значения f(0) то оно становится весьма интересным.

Запись в виде интеграла используется просто как удобная форма описания свойств этого функционала (линейность сдвиг, замена переменных и т.д.).

Таким образом, функцию δ(x) можно рассматривать как обычную функцию, удовлетворяющую всем формальным правилам интегрирования при условии, что все заключения относительно этой функции базируются на выражении (3.2), а не на каком-либо из ее отдельных свойств.

Дельта функцию можно рассматривать как предел

получаемый в результате использования основного соотношения

Следствием данного предела является тождество

Действительно,

Получился, таким образом, некоторый формализм в применении δ-функции, с помощью которого достаточно просто были исследованы некоторые разрывные явления. В частности, было замечено, что между единичной функцией θ(x) и функцией δ(x) существует связь

которая, очевидно, не имеет смысла в рамках классического анализа, но справедлива в смысле теории обобщенных функций.

Рассмотрим некоторые свойства δ-функции.

Если f(t) не имеет разрывов в точке t, то

Гребенчатая функция

Ряд, состоящий из бесконечного числа δ-функций, сдвинутых относительно друг друга на равные расстояния

называется гребенчатой функцией. При a = 1 имеем:

Гребенчатая функция, как это видно из соотношения симметрична относительно преобразования Фурье:

.

Гребенчатая функция играет важную роль при описании процессов дискретизации сигналов. Процедуру дискретизации (взятие выборок) удобно рассматривать как умножение сигнала f(x) на заданную периодическую последовательность тактовых импульсов, задаваемую функцией Ша(x).