Индукция

§1. Индукция и аналогия

1. Схема индуктивного подхода

Индукцией называют метод рассуждения от частных фактов к общим выводам. Это один из основных методов научного исследования, причём не только в математике.

Обратимся к схеме индуктивного подхода. Индукция, как правило, начинается с наблюдений. Например, рассмотрим представление нескольких чётных чисел в виде суммы двух слагаемых, а именно:

Можно заметить, что в каждом таком разложении оба слагаемых являются простыми числами, то есть, мы обнаруживаем некоторое сходство или, иначе говоря, аналогию. Интересно посмотреть, получается ли подобное разложение для следующих чётных чисел:

Рассмотренные частные случаи наводят на мысль о том, что, возможно, имеет место общее утверждение: «Любое чётное число, большее 2, представимо в виде суммы двух простых чисел». Данное утверждение носит название «проблема Гольдбаха» по имени немецкого математика, который в XVIII веке впервые высказал эту гипотезу.

Имея предположение, естественно попытаться либо доказать его, либо опровергнуть. Проведем конкретизацию утверждения, то есть попробуем проверить его на других частных случаях:

Если бы предположение не подтвердилось хотя бы для одного чётного числа, то оно, тем самым, было бы опровергнуто. В рассмотренных нами случаях предположение подтверждается, следовательно, оно становится более правдоподобным.

Хотя проблема Гольдбаха была сформулирована еще в XVIII веке, она не решена до сих пор. Проверены все чётные числа, не превосходящие ; каждое из них представимо в виде суммы двух простых чисел. Однако с помощью такого перебора нельзя доказать утверждение. Ученые убеждены в его справедливости, но доказательство пока не найдено.

Итак, наши рассуждения, связанные с проблемой Гольдбаха, проходили по следующей схеме.

СХЕМА ИНДУКТИВНОГО ПОДХОДА

Подчеркнём, что с помощью конкретизации невозможно доказать выдвинутое предположение; оно либо может быть опровергнуто, либо может стать более правдоподобным.

Проблема Гольдбаха чрезвычайно просто формулируется, но очень сложна для решения. В этом ее сходство с Великой теоремой Ферма (см. «Введение», стр.7).

2. Примеры обобщений, конкретизаций, аналогий

Обобщение – это переход к более широкому классу объектов. Например, от треугольников к многоугольникам, от натуральных чисел – к целым. Конкретизация – это, наоборот, переход к более узкому классу объектов. Например, от многоугольников к правильным многоугольникам, от правильных многоугольников к равносторонним треугольникам. Аналогия – это некоторое сходство, которое сводится к определенным понятиям. Например, нельзя назвать аналогией сравнение девушки с цветком, так как подобное сходство не сводится к чему-либо измеримому или определяемому с помощью понятий.

Пример 1. Рассмотрим треугольник на плоскости и треугольную пирамиду в пространстве. Две прямые на плоскости не могут образовать ограниченной фигуры, а три прямые могут образовать треугольник. Три плоскости не могут образовать ограниченной фигуры в пространстве, а четыре – могут образовать треугольную пирамиду. Отсюда аналогия: треугольник и треугольная пирамида ограничены минимальным числом простых ограничивающих элементов.

Пример 2. Можно рассмотреть другую аналогию между треугольником и произвольной пирамидой. Треугольник на плоскости можно получить следующим образом: взять отрезок (то есть ограниченную часть прямой) и точку, лежащую вне этой прямой; затем соединить все точки отрезка с данной точкой (см. рис. 1). Если же взять многоугольник на плоскости (ограниченную часть плоскости) и точку, лежащую вне этой плоскости, а затем соединить все точки многоугольника с данной точкой, то в результате получим пирамиду (см. рис. 2).

Рассмотренные обобщения, конкретизации и аналогии можно изобразить в виде следующей схемы:

§2. Математическая индукция

Как говорилось выше, индукционный подход может дать лишь правдоподобные умозаключения, но не может дать доказательства. Одним из методов доказательства утверждений является метод математической индукции, к рассмотрению которого мы сейчас переходим.

1. Индуктивная фаза

Обычно доказательству утверждения методом математической индукции предшествует индуктивная фаза, когда в процессе наблюдений подмечается аналогия и выписывается предположительная формула.

Пример 1. Рассмотрим суммы последовательных нечетных чисел, начиная с единицы:

Мы получаем квадраты натуральных чисел, причем каждая сумма равна количеству слагаемых, возведенному в квадрат. Отсюда возникает предположение: «Для любого n сумма n последовательных нечетных чисел (начиная с 1) равна n ²», то есть

для любого натурального n.

(*)

Проверим справедливость формулы при n = 5 и n = 6:

Успешная проверка делает наше предположение более правдоподобным.

На этом примере осуществлена схема индуктивного подхода:

а) проведены наблюдения (для n = 1, 2, 3, 4);

б) выявлена аналогия (сумма равна количеству слагаемых, возведенному в квадрат);

в) сделано обобщение на произвольное количество слагаемых (сформулировано предположение);

г) проведена проверка на других частных случаях (конкретизация).

Когда мы уже имеем правдоподобное утверждение, можно попробовать доказать его.