Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Случайные процессы и их характеристики
Прежде чем дать определение случайного процесса напомним основные понятия из теории случайных величин. Как известно, случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, заранее неизвестное. Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Основной характеристикой случайной величины является закон распределения, который может быть задан в виде графика или в аналитической форме. При интегральном законе распределения функция распределения , где – вероятность того, что текущее значение случайной величины меньше некоторого значения . При дифференциальном законе распределения используют плотность вероятности . Численными характеристиками случайных величин являются так называемые моменты, из которых наиболее употребительны момент первого порядка – среднее значение (математическое ожидание) случайной величины и центральный момент второго порядка – дисперсия. В случае, если имеется несколько случайных величин (система случайных величин), вводится понятие корреляционного момента. Обобщением понятия случайной величины является понятие случайной функции, т.е. функции, которая в результате опыта может принять тот или иной вид, неизвестный заранее. Если аргументом функции является время t, то её называют случайным или стохастическим процессом. Конкретный вид случайного процесса, полученный в результате опыта, называется реализацией случайного процесса и является обычной неслучайной (детерминированной) функцией. С другой стороны в фиксированный момент времени имеем так называемое сечение случайного процесса в виде случайной величины. Для описания случайных процессов обобщаются естественным образом понятия теории случайных величин. Для некоторого фиксированного момента времени , случайный процесс превращается в случайную величину , для которой можно ввести функцию , называемую одномерным законом распределения случайного процесса . Одномерный закон распределения не является исчерпывающей характеристикой случайного процесса. Он, например, не характеризует корреляцию (связь) между отдельными сечениями случайного процесса. Если взять два разных момента времени и , можно ввести двумерный закон распределения и т.д. В пределах нашего дальнейшего рассмотрения будем ограничиваться в основном одномерным и двумерным законами. Рассмотрим простейшие характеристики случайного процесса, аналогичные числовым характеристикам случайной величины. Математическое ожидание или среднее по множеству (3.1) и дисперсию (3.2) Математическое ожидание – это некоторая средняя кривая, вокруг которой группируются отдельные реализации случайного процесса, а дисперсия характеризует в каждый момент времени разброс возможных реализаций. Иногда, используется среднеквадратичное отклонение . Для характеристики внутренней структуры случайного процесса вводится понятие корреляционной (автокорреляционной) функции (3.3) Наряду с математическим ожиданием (среднее по множеству) (3.1) вводится ещё одна характеристика случайного процесса – среднее значение случайного процесса для отдельной реализации (среднее по времени) (3.4) Для двух случайных процессов можно также ввести понятие взаимной корреляционной функции по аналогии с (3.3). Одним из частных случаев случайного процесса, находящих широкое применение на практике, является стационарный случайный процесс – это случайный процесс, вероятностные характеристики, которого не зависят от времени. Итак, для стационарного случайного процесса , , а корреляционная функция зависит от разности , т.е. является функцией одного аргумента . Стационарный случайный процесс в какой-то мере аналогичен обычным или установившимся процессам в системах управления. Стационарные случайные процессы обладают интересным свойством, которое называется эргодической гипотезой. Для стационарного случайного процесса всякое среднее по множеству равно среднему по времени. В частности, например, Это свойство позволяет часто упростить физическое и математическое моделирование систем при случайных воздействиях. Как известно, при анализе детерминированных сигналов широкое применение находят их спектральные характеристики на базе ряда или интеграла Фурье. Аналогичное понятие можно ввести и для случайных стационарных процессов. Отличие будет заключаться в том, что для случайного процесса амплитуды гармонических составляющих будут случайными, а спектр статического случайного процесса будет описывать распределение дисперсий по различным частотам. Спектральная плотность стационарного случайного процесса связана с его корреляционной функцией преобразованиями Фурье : , (3.5) , (3.6) где корреляционную функцию будем трактовать как оригинал, а - как изображение. Существуют таблицы, связывающие оригиналы и изображения . Например, если , то . Отметим связь спектральной плотности и корреляционной функции с дисперсией D . (3.7) В заключение рассмотрим свойства “белого шума”. Под белым шумом понимают случайный процесс, спектральная плотность которого постоянна при всех частотах от до , т.е. (рис.3.1,а).
Рис. 3.1
Корреляционная функция в соответствии с (3.6) . (3.8) График приведен на рис. 3.1, б. Пример 3.1. Для стационарного случайного процесса со свойствами белого шума в ограниченной полосе частот от до (рис. 3.2, а) определить дисперсию и корреляционную функцию. На основании (3.7) . Корреляционная функция в силу (3.6) . Её график изображён на рис. 3.2, б. Рис. 3.2
В приводятся графики зависимостей и для различных реализаций случайных процессов.
|