Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Исследование нелинейных систем методом фазовой плоскостиОсновные понятия Метод фазовой плоскости обычно применяется для анализа нелинейных систем второго порядка при исследовании в них собственных процессов или вынужденных при . Пусть в нелинейной системе рис. 2.2 передаточная функция имеет вид
. (2.10)
Используем модели (2.7), (2.8) для данного случая и запишем уравнения (2.7) в нормальной форме [1]:
, .
Уравнение замкнутой системы (2.8) будет
, .
Будем полагать, что , а нелинейность обладает свойством симметрии относительно начала координат (рис 2.3, 2,4), т.е. . В этом случае уравнения примут вид:
(2.11)
где , – нелинейные функции. Частным случаем уравнения (2.11) является случай, когда :
(2.12)
который встречается довольно часто. Характерной особенностью (2.11), (2.12) является то, что координата является скоростью изменения координаты , т.е. . Пусть при заданных начальных условиях , определено конкретное (частное) решение уравнения (2.11). В трехмерном пространстве с координатами , , это решение можно изобразить в виде некоторой кривой, которую называют интегральной кривой. Проекция этой кривой на плоскость с координатами , также будет некоторой кривой или траекторией, которую будем называть траекторией состояния или фазовой траекторией. Совокупность фазовых траекторий на плоскости с координатами , будем называть фазовым портретом системы, а саму плоскость – фазовой плоскостью. При все вышесказанное можно обобщить, однако ввиду сложной геометрической интерпретации фазовое пространство и фазовые траектории для этого случая применяются редко. Найдем уравнения, определяющие фазовые траектории. Для этого в (2.11) разделим почленно второе уравнение на первое, тогда с учетом , получим
. (2.13)
Уравнение (2.13) является нелинейным дифференциальным уравнением первого порядка, в котором является аргументом (независимой переменной). Решение этого уравнения () и является искомой фазовой траекторией. Так как в конечном итоге координаты и зависят от времени , то с течением времени точка на фазовой траектории, которую назовем изображающей точкой, будет двигаться по фазовой траектории. Для частного случая (2.12) уравнения фазовых траекторий будут иметь вид . (2.14)
Правила движения изображающей точки по фазовым траекториям на фазовой плоскости , где – ось абсцисс, – ось ординат: а) если , то по фазовой траектории изображающая точка движется слева направо в сторону увеличения , т.к. скорость ; б) если , то наоборот – справа налево; в) ось фазовая траектория пересекает под прямым углом (свойство справедливо только для уравнения (2.14)). Рассмотрим качественное соответствие характера поведения интегральной кривой (координат , ) и соответствующих фазовых траекторий. На рис. 2.3 показаны 5 видов процессов : 1 − периодический, 2 − возрастающий колебательный, 3 − затухающий колебательный, 4 − монотонный возрастающий, 5 − монотонный затухающий. На рис. 4 для каждого из них показаны фазовые траектории.
Рис. 2.3
Рис. 2.4
Итак, если известен фазовый портрет системы, то можно качественно оценить характер протекающих в системе процессов: являются ли они затухающими и стремятся к нулю при либо нет; как затухают – с колебаниями, либо монотонно; являются ли периодическими и т.п.
|