Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Линейные однородные уравнения высших порядков ⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 6 Всё очень и очень похоже. Линейное однородное уравнение третьего порядка имеет следующий вид: Пусть, например, все корни действительны и различны: , тогда общее решение запишется следующим образом: Если один корень действительный , а два других – сопряженные комплексные , то общее решение записываем так: Особый случай, когда все три корня кратны (одинаковы). Рассмотрим простейшие однородное ДУ 3-го порядка с одиноким папашей: . Характеристическое уравнение имеет три совпавших нулевых корня . Общее решение записываем так: Если характеристическое уравнение имеет, например, три кратных корня , то общее решение, соответственно, такое: Пример 9 Решить однородное дифференциальное уравнение третьего порядка Решение: Составим и решим характеристическое уравнение: Ответ: общее решение Аналогично можно рассмотреть линейное однородное уравнение четвертого порядка с постоянными коэффициентами: , где – константы. Соответствующее характеристическое уравнение всегда имеет ровно четыре корня. Общее решение записывается точно по таким же принципам, как и для однородных диффуров младших порядков. Единственное, хотелось прокомментировать тот случай, когда все 4 корня являются кратными. Пусть, например, характеристическое уравнение имеет четыре одинаковых корня . Тогда общее решение записывается так: Тривиальное уравнение имеет общее решение: Пример 10 Решить однородное дифференциальное уравнение четвертого порядка Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока. Полагаю, практически все смогут расправиться и с однородными дифференциальными уравнениями 5-го, 6-го и высших порядков. Мне очень не хотелось записывать общие формулы, рассказывать о фундаментальной системе решений и т.д. Но, процесс конструирования общего решения вроде раскрыт мной неплохо. На посошок предлагаю решить однородный диффур как раз для закрепления вашего понимания. Да чего мелочиться: Пример 11 Решить однородное дифференциальное уравнение шестого порядка Полное решение и ответ ближе к подвалу. Караул устал – караул упал. После такой основательной подготовки можно смело переходить к освоению линейных неоднородных уравнений второго и высших порядков. Желаю успехов! Решения и ответы: Пример 2: Решение: Составим и решим характеристическое уравнение: Пример 4: Решение: составим и решим характеристическое уравнение: Пример 6: Решение: Составим и решим характеристическое уравнение: Пример 8: Решение: Составим и решим характеристическое уравнение: Пример 10: Решение: Составим и решим характеристическое уравнение: Пример 11: Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:
|