Спектр оператора

Нагадаємо це поняття для скінченновимірного випадку.

Нехай – лінійний оператор у -вимірному просторі або . Число із або відповідно із називається власним значенням (числом) оператора , якщо рівняння має ненульовий розв’язок. Сукупність усіх власних значень називається спектром оператора , а решта всіх значень – регулярними. Іншими словами, є регулярним значенням, якщо оператор оборотний. При цьому оператор визначений на всьому просторі або та, як і будь-який оператор у скінченнови-мірному просторі, обмежений. Отже, у скінченновимірному випадку існує дві можливості:

1) рівняння має ненульовий розв’язок, тобто є власним значенням для ; оператор при цьому не існує;

2) існує обмежений оператор , визначений на всьому просторі, тобто є регулярною точкою.

У нескінченновимірному просторі існує ще третя можливість, а саме:

3) оператор існує, тобто рівняння має лише нульо-вий розв’язок, але цей оператор визначений не на всьому просторі, і, мож-ливо, необмежений.

Введемо таку термінологію. Число називається регулярним для оператора , який діє в дійсному чи комплексному банаховому просторі , якщо оператор визначений на всьому , а, отже (теорема Банаха), обмежений. Оператор називається резольвентою. Сукупність решти значень називається спектром. Спектру належать всі власні значення оператора , оскільки якщо при деякому , то не існує. Сукупність таких називається точковим спектром. Частина спектра, що залишилась, тобто ті , для яких існує, але визначений не на всьому , називається неперервним спектром.

Якщо точка регулярна, тобто оператор визначений на всьо-му і обмежений, то при достатньо малому оператор також визначений на всьому і обмежений (теорема 5.6), тобто точка також є регулярною. Таким чином, регулярні точки утворюють відкриту множину. Отже, виходить, що спектр як доповнення до цієї множини є замкнутою множиною.

Теорема 5.9. Якщо , то – регулярна точка.

Теорему 5.9 можна уточнити. Позначимо . Виявляється, що спектр оператора повністю лежить у крузі радіуса з центром в нульо-вій точці. Величина називається спектральним радіусом оператора .

Приклад 5.10. У просторі розглянемо оператор , визначений формулою

.

Тоді

.

Оператор оборотний при будь-якому , оскільки з рівняння випливає, що . Однак, при обернений опе-ратор, заданий формулою

,

визначений не на всьому і не обмежений. Визначений він тільки на тих , які мають вид , де . Таким чином, спектр оператора А неперервний і співпадає з відрізком .