Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Т. Лагранжа ⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3 Пусть ф-ция f: 1) непрерывна на [a,b]; 2) диф-ма на (a,b), тогда сущ-ет такая т.C є (a,b), что справедливо равенство: Док-во: Рассмотрим вспомогат. ф-цию F(x)=f(x)- f(а)- (х-а). Для F(x) выпол.след.усл.1). F(x)-непрерывна на [a;b] как сумма непр-х ф-ций; f(x)-по усл. диф-ма на (a,b),(x-a)-диф-ма на (a,b) как линейная F(x)-диф-ма.2). F’(x)= f’(x)- ;3). F(а)=0; F(b)= f(b)- f(а)- *(b-a)=0.Все условия Т.Ролля вып-ся, следовательно , что F’(с)=0,Значит, f’(с)= . Теорема Коши. Пусть ф-ции f и g:1) непрерывны на [a,b];2) f и g диф-мы на (a,b),причем Тогда существует такая т.Cє (a,b), что справедлива формула: Приложения: Условие постоянства функции Т1: Для того, чтобы непр-я на пром-ке (a,b), диф-мая на (a,b) ф-я f была постоянной на пром-ке (a,b), н и д чтобы( (f|(x)=0). Условие монотонности функций. Т2:для того чтобы функция f непрерывная на [a,b] и меющая производную хотя бы в (a,b) была возрастающей (убывающей) на [a,b] необх и достат чтобы 1) f’(x) на (a,b) была положительной (отрицательной); 2) f’(x)=0 выпол-сь только в отдельных точках (a,b). Док-во: «необх»пусть для определ-ти f(x) сторого возрастает на [a,b] зададим произвол-е х из [a,b].Дадим ему прирщение Δх, что х+Δх є[a,b].Рассм-м разность f(х+Δх)-f(x), она >0 е\и Δх>0 и <0 е\и Δх<0, тогда отношение >0 будет иметь четко опред-ный знак. ,т.е. f’(x) 0 на(a,b). Покажем,что рав-во f’(x)=0 не выпол. ни в каком промеж-ке (a,b).МОП f’(x)=0 на нек. (α,β) є(a,b), тогда f(x)-постоянна на нем,что против-чит усл.возрастания. «дост»пусть f’(x) 0 на (a,b) и f’(x)=0 не выпол.ни в каких промеж-ках в (a,b).Возьмем два произ-ных знач-я x1<x2 из[a,b],т.к. f-непрер. и имеет производную,то она обл. теми же св0ми и на(x1,x2) є[a,b].Применим т.Логража f(x2)-f(x1)=f’(c)*(x2-x1),где x1<c<x2,т.к. f’(x) 0, то f’(с) 0,тогда f(x2)-f(x1) 0,т.е. f(x2) f(x1).Покажем,что знак рав-ва в данном случае невозможен.МОП предпол.f(x1)=f(x2),тогда для любого х є[x1,x2] f(x1) f(x) f(x2),учит. что f(x1)=f(x2) и f-постоянна,что противоречит условию.ЧТД. Пр:f(x)=x+cosx. D(f)=R,f’(x)=1-sinx, для лбюбого x из D(f) f’(x) 0.f’(x)=0 x= +2πk,т.е. f’(x)=0 не выпол. на R, а только в дискретных точках.Функция f(x) возр-ет. Точки экстремума. О1: Точка x0є D(f) назыв. т. нестрогого минимума(нестр. максимума),е\и сущ-ет окрестность U(x0) т. x0, что для любого x є U(x0) выполняется нер-во: f(x0) f(x) (f(x0) f(x)) О2:точка x0є D(f) назыв. т. Строгого минимума(строгого максимума)е\и сущ-ет проколотая окрестность т.x0,что для любого x из этой окрестности выполн. f(x0)<f(x)(f(x0)>f(x)). Максимум и минимум функции называется экстремумом. Пр:
Необх.усл.экстремума:Т: е\и в т.х0 фун-я f имеет экстремум,то либо f’(x0)=0,либо f’(x0)- не сущ-ет. 1 дост усл-е экстремама:Т:пусть фун-я f диф-ма в некот.окр-ти(х0-δ,х0+δ) критич.т.х0 за исключ. М.б. самой т.х0 в котор.f-непрер. и ее производная сохраняет знак.Е\и при переходе ч\з т.х0 слева на право f’(x) меняет знак,то т.х0-т.экстремума,причем е\и знак производной меняется с + на -, то max, а с - на +, то min. Первое правило нахождения экстремума 1. Находят область определения. 2.Найти критические точки ф-ции. 3.Исследовать поведение производных в окрест. крит.точек. 2 дост усл-е экст-ма:Т: Если в критич. точке ф-я f дважды дифференцируема и вторая производная в этой точке отлична от нуля, то ф-я имеет экстремум. А именно max, если втор. производная <0 и min, если вторая произв.>0. Второе правило нахождения экстремума 1. Находят область определения 2. Найти стационарные точки 3.Найти значение второй производной в стационар. точках. О: График ф-и f-диф-мой в т.х0 назыв. выпуклым вверх(вниз),е\и сущ-ет такая окрестность т. х0,что во всех т.этой ф-и график ф-и расположен ниже(выше) касательной к графику,провед. в т.(х0,f(х0)). О:точка х0 назыв. т. перегиба графика ф-и f,е\и при переходе ч\з т.х0 график меняет неправление выпуклости. Т. Если ф-ия f имеет непрерывную вторую производнуююв т. х0 и f //(х0)>0 (f//(х0)<0), то график ф-ии в этой точке явл-ся выпуклым вниз(вверх.) Т.(необх-ой условие т. перегиба): если х0-т. Перегиба графика ф-ии f то в этой точке либо f //(х0)=0, либо f //(х0) не сущ-ет. Т.(достат-ой условие т. перегиба): пусть ф-ия f дважды диф-ма в некот-ой окрестности (х0-δ, х0+δ)т. х0, за исключением м.б. самой т. Х0.Пусть f // имеет нек-ый определ-ый знак в левосторонней полуокрестности (х0-δ, х0)и нек-ый определ-ый знак в правосторонней полуокрестности (х0, х0+δ). Тогда, если при переходе ч/з т. х0 вторая произв-ая меняет знак, то х0 т. перегиба. Если же при переходе ч/з т. х0 вторая произв-ая не меняет знак,то х0 не явл-ся точкой перегиба.
|