Принцип Ферма. Закон преломления

Если две точки находятся в различных прозрачных (однородных) средах, то луч света, чтобы пройти от одной точки к другой, преломляется у плоской поверхности, по которой соприкасаются обе среды, таким образом, что употребляет возможно меньшее время, совершенно так же, как это происходит при отражении от плоской поверхности.

Пусть KL - плоскость, разделяющая две среды (рис. 1), и точка A находится в менее плотной среде (например, в воздухе), а точка C - в более плотной среде (например, в воде). Пусть луч проходит из точки A через точку B, лежащую на границе, в точку C в соответствии с законом преломления:

, где n1, c1, n2, c2 - показатели преломления и скорости распространения света в верхней и нижней средах соответственно. По предположению, n1<n2, c1>c2.

Требуется доказать, что время прохождения света по такому лучу самое короткое по сравнению с временем прохождения по любому другому преломленному лучу. Применим доказательство от противного. Допустим, что свет прошел по другому лучу AFC, так что точка F отстоит от точки A дальше, чем точка B. Проведем прямую FO', параллельную AB, и построим перпендикуляры AO и BH к этим прямым. Опустим также перпендикуляр FG на прямую BC. Из того, что равен , а равен (как углы с соответственно ортогональными сторонами), следует, что:

Поэтому, согласно (1), время распространения света по отрезку HF равно времени распространения по отрезку BG:

Таким образом, время прохождения света по лучу OF было бы равно времени прохождения света по пути ABG. Далее очевидно, что так как гипотенуза FC больше катета GC, то время прохождения по пути OFC больше, чем по пути ABC. Наконец, поскольку гипотенуза AF больше катета OF, то время прохождения света по пути AFC больше времени прохождения света по пути OFC и тем более по пути ABC. К аналогичному заключению можно прийти и в случае, когда точка F лежит левее точки B. Таким образом, время прохождения света по ABC самое короткое из возможных, что и требовалось доказать.