Коэффициенты Эйнштейна

В 1917 г. А. Эйнштейн (1879-1955) предложил элементарную квантовую картину динамического равновесия между излучением и материальной средой, приводящую к правильной формуле излучения абсолютно черного тела.

Обозначим А ₁₀ вероятность спонтанного перехода 1 ® 0 в секунду, N ₁- концентрацию атомов на верхнем уровне. По определению этих величин можно записать .

Частота вынужденных переходов, очевидно, пропорциональна плотности

излучения. Обозначим В ₁₀ и В ₀₁ вероятности вынужденных переходов 1 ® 0 и 0 ® 1 в секунду, отнесенные к спектральной плотности излучения ww; N ₀ - концентрацию атомов на нижнем уровне. По определению этих величин можно записать

С учетом и соотношение принимает вид

В равновесном состоянии справедливо распределение Больцмана, которое для концентраций атомов принимает вид

где A – нормировочная постоянная. Подставляя в и сокращая полученное выражение на общий множитель A, находим .

Величины A ₁₀, В ₁₀, B ₀₁ называют коэффициентами Эйнштейна. Из физических соображений ясно, что при T ® ¥ должно быть U_w ® ¥. Тогда, разделив обе части на U_w, получим .

Поэтому соотношение может быть записано в виде ,

где w = Е ₁ - Е ₀. Теоретически значение отношения А ₁₀/ В ₁₀ в рамках элементарной квантовой теории найдено быть не может. Оно вычисляется в рамках строгой квантовой теории излучения. Однако значение этого отношения можно найти, если учесть, что при малых частотах должно совпадать с формулой Рэлея-Джинса, а при больших частотах - с формулой Вина.При hw << kT можем считать, что , и записать в виде

Сравнивая с формулой Рэлея-Джинса, находим . Формула принимает вид

,

совпадающий с формулой Планка. Хотя элементарная квантовая теория излучения абсолютно черного тела не позволяет теоретически вычислить значения коэффициентов Эйнштейна, она демонстрирует необходимость существования спонтанных и вынужденных переходов, причем для вероятностей вынужденных переходов соблюдается важное соотношение ().Испущенные в результате спонтанных переходов кванты имеют случайное направление распространения, случайную поляризацию и случайную фазу. Кванты, испущенные в результате вынужденных переходов, коррелируют по своим свойствам с излучением, которое вызывает переход. Вынужденное излучение обладает той же поляризацией, тем же направлением распространения и той же фазой, что и вынуждающее переход излучение. Это свойство вынужденного (или индуцированного) излучения чрезвычайно важно для его применений и проявлений.