Преломление на сферической поверхности

Рассмотрим простейший случай преломления света на одной сферической поверхности, разграничивающей однородные среды с показателями преломления n ₁ и n ₂. Пусть эта поверхность обладает симметрией вращения относительно одной из прямых OC, проходящей через центр кривизны сферической поверхности, которую будем называть главной оптической осью (рис. 7.6).

Р и с. 7.6

В дальнейшем все отрезки вдоль оси будем отсчитывать от точки O, считая их положительными, если они откладываются от точки O вправо, т.е. в направлении распространения света, и отрицательными – если они откладываются влево.

Допустим, что точечный источник света S находится на оптической оси системы. Произвольный луч SA, падающий на сферическую поверхность под углом i ₁, после преломления на поверхности под углом i ₂ пройдет по пути AS ₁. Обозначим длины AS и AS ₁ через a ₁ и а ₂, соответственно.

Распишем площади полученных треугольников. Из рис. 7.6 видно, что

. Учитывая, что a ₁ < 0, a ₂ > 0 можно записать: , ,

где AC = R – радиус кривизны преломляющей поверхности. Он отсчитывается от сферической поверхности к ее центру и положителен в нашем случае. Подставляя выражения,, в формулу, получим:

.

Согласно формуле, положение точки S ₁ зависит от угла наклона падающего луча к оптической оси, т.е. от угла падения i ₁ и преломления i ₂. Ограничимся малыми углами , i ₁, i ₂. Лучи, удовлетворяющие такому условию, называются параксиальными (приосевыми). Для них можно записать ; В этом приближении формула принимает вид: .

В случае параксиального приближения положение точки S ₁ не зависит от угла a. Следовательно, все параксиальные лучи, выходящие из одной точки оптической оси, после преломления на сферической поверхности пересекутся в одной точке, лежащей также на оптической оси. Точка S ₁ будет поэтому оптическим изображением точки S в параксиальных лучах, а расстояния а ₁ и а ₂ будут обозначать соответственно расстояния от сферической поверхности до предмета и до изображения.

Формуле можно придать вид:

откуда следует, что произведение n (1/ a – 1/ R) при преломлении сохраняет свою величину. Его называют нулевым инвариантом Аббе.

Основное уравнение охватывает все случаи преломления лучей на сферической поверхности. Пользуясь установленным выше правилом знаков, можно разобрать случай выпуклой (R > 0) или вогнутой поверхности (R < 0). Точно также, в зависимости от того, будут ли а ₁ и а ₂ иметь разные знаки или одинаковые, мы будем иметь случаи, когда изображение располагается с противоположной по сравнению с источником стороны преломляющей поверхности или лежит по одну сторону с ним. В первом случае (а ₂ > 0) точка, именуемая изображением, есть действительно точка пересечения преломленных лучей. Такое изображение называется действительным. Во втором случае (а ₂ < 0), преломленные лучи, идущие во второй среде, остаются расходящимися и реально не пересекаются. Название изображения относится к той воображаемой точке, которая представляет собой место пересечения предполагаемого продолжения преломленных лучей. Такое изображение называется мнимым.