Спираль Корню

В предыдущем параграфе мы рассматривали с помощью принципа Гюйгенса-Френеля дифракцию сферической волны от круглого отверстия. Осевая симметрия задачи подсказывала выбор конфигурации зон, на которые мы разбивали открытую часть волновой поверхности – в виде круговых колец. Теперь перейдем к случаю, когда волновая поверхность плоская и характер препятствия (полуплоскость, щель) предписывает разбивать открытую часть волновой поверхности на зоны в виде прямолинейных полосок.

Дифракция от прямолинейного края полуплоскости. Пусть на экран Э падает нормально плоская монохроматическая волна длины l. Расположим перед экраном на расстоянии от него непрозрачную полуплоскость N с прямолинейным краем (рис. 4.13). Если бы свет распространялся прямолинейно, то на экране Э мы наблюдали резкую тень от края этой полуплоскости (точка Р ₀ на рисунке). В действительности же из-за волнового характера света на экране Э образуется сложная дифракционная картина.

Р и с. 4.13

Для расчета этой картины воспользуемся принципом Гюйгенса-Френеля. В данном случае в качестве интересующей нас волновой поверхности S возьмем ту открытую ее часть, которая продолжает непрозрачную полуплоскость. Соответствующие расчеты были проведены аналитически Френелем, получены результаты в виде так называемых интегралов Френеля, и задача, таким образом, была решена.

Мы не будем воспроизводить здесь этот расчет и ограничимся лишь интерпретацией его и полученного результата с помощью векторной диаграммы. Это наиболее простой и наглядный метод, открывающий к тому же весьма эффективные практические применения.

Из соображений симметрии ясно, что дифракционная картина на экране Э будет зависеть только от расстояния до границы геометрической тени – точки Р ₀ на рис. 4.13, т.е. светлые и темные полосы должны быть параллельны прямолинейному краю К непрозрачной полуплоскости N. Говоря далее об амплитуде колебаний в точке Р на экране, мы будем иметь в виду, что это относится ко всем точкам прямой, проходящей через точку Р и параллельной краю полуплоскости.

Сначала найдем амплитуду колебаний в точке Р ₀, которая находится на краю геометрической тени (рис. 4.13, а). Для этой точки (и только для нее) мы могли бы использовать разбиение открытой части волновой поверхности на полукольца – полузоны Френеля. Но поскольку нам предстоит определять амплитуду колебаний и в других точках экрана, то в соответствии с симметрией данной задачи разобьем мысленно открытую часть волновой поверхности S на весьма узкие одинаковой ширины прямолинейные полоски (зоны), параллельные краю полуплоскости.

Амплитуду колебаний, приходящих в точку Р ₀ от первой зоны-полоски изобразим вектором dE ₁ (рис. 4.14). Амплитуду колебаний от следующей полоски – вектором dE ₂, повернутым на очень небольшой угол против часовой стрелки, так как эти колебания проходят до точки Р ₀ несколько большее расстояние и, значит, отстают по фазе.

В дальнейшем угол между соседними векторами-амплитудами становится все больше, поскольку запаздывание по фазе колебаний, приходящих в точку Р ₀ от последующих зон-полосок растет все больше. Модули же векторов dE _i будут уменьшаться (из-за увеличения расстояния до Р ₀ и угла J между нормалью к полоске и направлением на точку Р ₀).

Результирующая амплитуда колебаний в точке Р ₀ от достаточно широкой полосы волновой поверхности S изобразится суммой (цепочкой) векторов dE _i от всех укладывающихся на этой полосе элементарных зон-полосок. Это вектор E на рис. 4.14.

Р и с. 4.14 Р и с. 4.15

Спираль Корню. В пределе, когда ширина полосы стремится к бесконечности, т.е. превращается в полуплоскость, и ширина каждой элементарной зоны-полоски стремится к нулю, цепочка векторов превращается в плавную кривую, являющуюся правой половиной спирали Корню (рис. 4.15). Эта спираль состоит из двух симметричных ветвей, закручивающихся вокруг фокусов F ₁ и F ₂. Ее левая половина описывает действие колебаний, приходящих в точку Р ₀ от участков волновой поверхности (если бы они были открыты), лежащих левее края К непрозрачной полуплоскости (см. рис. 4.13, а).

Амплитуда колебаний в точке Р ₀ от волновой поверхности, лежащей правее края К непрозрачной полуплоскости, изобразится вектором, проведенным из точки О в фокус F ₂ спирали Корню. Амплитуда же колебаний в точке Р ₀ от полностью открытой волновой поверхности – вектором, проведенным из фокуса f ₁ в фокус F ₂.

Для нахождения вектора-амплитуды колебаний в точке Р, лежащей, например, правее точки Р ₀ (см. рис. 4.13 б), от какой-либо полосы волновой поверхности, лежащей между координатами x ₁ и х ₂, нужно построить вектор, который замыкает соответствующий этой полосе участок спирали Корню.

Это делается так. Каждой точке спирали Корню соответствует определенное значение некоторого параметра s (он пропорционален длине дуги спирали, отсчитываемой от точки О на рис. 4.15). Значения параметра указаны вдоль кривой. Из аналитического расчета следует, что параметр s связан с расстоянием х, отсчитываемым от точки С до интересующей нас точки D волновой поверхности S (рис. 4.16) формулой

где l – длина волны света, – расстояние между экраном Э и волновой поверхностью S, в плоскости которой расположено то или иное препятствие на пути световой волны.

Обратим внимание на то, что параметр s пропорционален расстоянию х. Значит, х ~ s ~ длине дуги спирали Корню, отсчитываемой от точки О (рис. 4.15) в соответствующую сторону (вправо или влево).

Теперь покажем как с помощью спирали Корню получить распределение интенсивности света на экране вблизи края геометрической тени при дифракции плоской волны от прямолинейного края непрозрачной полуплоскости N. Если точка Р находится правее точки Р ₀ (см. рис. 4.13, б), то правая часть волновой поверхности S (от точки С) полностью открыта, и на спирали Корню амплитуда колебаний в точке Р соответствует вектору DF ₂. Конец этого вектора находится в фокусе F ₂, а начало – точка D – в зависимости от положения точки Р. Когда Р находится на краю геометрической тени (в точке Р ₀), точка D совпадает с точкой О на спирали Корню (см. рис. 4.15), и вектор-амплитуда соответствующих колебаний изобразится вектором OF ₂, равным половине вектора F ₁ F ₂ – от полностью открытой волновой поверхности S. Поэтому интенсивность света в точке Р ₀ в четыре раза меньше интенсивности I ₀ в отсутствие непрозрачной полуплоскости.

Р и с. 4.16 Р и с. 4.17

При перемещении точки Р вправо от точки Р ₀ точка D на спирали Корню (начало вектора DF ₂) будет перемещаться по левой ветви спирали, так как слева от точки С будут открываться все новые зоны-полоски. Это приводит к тому, что амплитуда и интенсивность в точке Р при удалении ее от Р ₀ будут последовательно проходить через максимумы и минимумы, различие между которыми постепенно уменьшается и интенсивность приближается к значению I ₀ (рис. 4.17).

При перемещении точки Р влево от точки Р ₀ – в область геометрической тени, точка D на спирали Корню перемещается вправо от точки О. Легко видеть, что длина вектора DF ₂, а значит и интенсивность, будет монотонно уменьшаться до нуля (см. рис. 4.17).

Следует отметить, что обычно точка наблюдения Р в лабораторных установках находится за непрозрачной полуплоскостью на расстоянии, не превышающем порядка одного метра. При этом для определения амплитуды результирующего колебания играет роль сравнительно небольшой участок волновой поверхности S, лежащий вблизи края полуплоскости. В таких условиях край практически любого препятствия можно считать прямолинейным и для расчета дифракционной картины можно пользоваться спиралью Корню.

Дифракция от щели. Таким же образом – с помощью спирали Корню и формулы – можно рассчитать распределение интенсивности в дифракционной картине от бесконечно длинной прямолинейной щели. Сама дифракционная картина на экране имеет симметричный относительно середины вид чередующихся светлых и темных полос, параллельных щели (предполагается, что плоская световая волна падает на щель нормально).

Р и с. 4.18

С помощью той же спирали Корню легко убедиться в том, что при постепенном увеличении ширины щели интенсивность в середине дифракционной картины будет сначала иметь максимум, затем минимум, потом опять максимум и т.д. (рис. 4.18, а, б, в). Таким образом, мы будем наблюдать при этом последовательное чередование максимумов и минимумов (в середине картины), разность между которыми будет постепенно уменьшаться, стремясь к интенсивности I ₀ падающего на щель света. Сама же дифракционная картина будет постепенно локализовываться только вблизи геометрической тени от краев щели.

Отметим, что в отличие от спирали Френеля, которая давала возможность решать вопросы об интенсивности только в одной точке дифракционной картины, спираль Корню позволяет в ряде случаев находить распределение интенсивности во всех точках дифракционной картины.