Периодические функции. Ряд Фурье. Дискретный спектр

Пусть некоторая функция времени f(t) является периодической, т.е. удовлетворяет условию

где t - произвольный момент времени, n - любое целое число, Т- период функции f(t). Типичный вид периодической функции показан на рис. 2.2, а.

Предположим, что функция f(t) кусочно-непрерывна и ограничена. Тогда, согласно теореме Дирихле, она может быть представлена в виде ряда

где

Ряд называется рядом Фурье, а коэффициенты и - коэффициентами Фурье функции f(t). Индекс " n " в формуле нумерует частоты составляющих функцию f(t) гармонических колебаний ("гармоник"). Как видно из формул, эти частоты разделены одинаковыми интервалами и образуют эквидистантную последовательность.

Нетрудно убедиться в правильности формул для коэффициентов Фурье. Для этого достаточно умножить равенство на или , где m = 1,2,..., и проинтегрировать полученные соотношения по периоду функции f(t) от -Т/2 до Т/2. В математике доказывается единственность разложения. Тем самым математическая задача разложения периодических функций на гармонические колебания полностью решена.