Реакции опор

Мы выяснили, впрочем, это и без нас было известно, что у всего есть предел. За пределом у человека - смерть, у строительной конструкции - разрушение, но за жизнь сражаются все. Когда мы давили на линейку пальцем в одном из мест, где линейка опиралась на книги, победить линейку нам не удалось и мы своим пальцем чувствовали, как линейка упиралась, но не прогнулась ни на миллиметр. Причем, чем сильнее мы давили на линейку, тем сильнее она упиралась, при этом сила, с которой мы давили на линейку была сравнима с силой отпора.

В реальном мире все очень сложно - любое вещество, даже очень простое, устроено очень непонятно. Одни вещества состоят из атомов, соединенных в кристаллическую решетку, при этом материал может быть монокристаллическим или поликристаллическим. В других веществах атомы входят в состав молекул, которые могут быть и простыми и очень сложными. Но между всеми этими атомами или молекулами существует строгая связь. Все эти атомы и молекулы держатся на определенном природой расстоянии и когда мы давим пальцем на линейку, то мы пытаемся уменьшить расстояние между атомами или молекулами, а молекулы да атомы этого не хотят и сопротивляются, говоря научным языком возникает напряжение, т.е. расстояние между атомами или молекулами уменьшается, но если палец убрать, то атомы и молекулы вернутся на свои места. Мало того, когда мы давим на линейку, деформации возникают не только в веществе линейки, но и книги, в том месте где на книгу опирается линейка, в веществе стола, на котором лежат книги и так далее, до самого земного ядра. Кстати говоря, для некоторых веществ термин напряжение можно понимать буквально - этот эффект положен в основу работы пьезоэлементов, но не будем отвлекаться. Так вот когда мы давим пальцем на линейку в точке опоры, то часть энергии переходит в упругие деформации, часть в неупругие деформации, часть в нагрев вещества, еще какая-то часть в звуковые колебания и так далее, одним словом процесс сложный, но вот за что я люблю строительную механику, так это за то, что в строймехе все просто, потому как строительная механика придумана не для того, чтобы усложнять нам жизнь, а чтобы жизнь и, в частности, расчет строительных конструкций, упрощать.

В строительной механике этот сложный комплекс событий называется реакцией опоры. Считается, что когда мы прикладываем силу (сосредоточенную нагрузку) на опоре, то возникает реакция опоры, численно равная приложенной нагрузке и направленная противоположно - красота! Таким образом, если мы приложили на опоре нагрузку 1 Ньютон, то на опоре возникает реакция тоже 1 Ньютон, при этом на второй опоре никакой нагрузки нет, поэтому и реакция опоры равна 0. Такое допущение позволяет заменить опоры силами - реакциями опоры. Для простоты восприятия можно измерять силы в килограмм-силах, 1 кгс = 10 Н. И теперь, если рассматривать балку висящей в воздухе, то для того, чтобы балка не падала, другими словами находилась в состоянии равновесия, достаточно в одной точке приложить к балке две равные по значению, но противоположно направленные силы.

Рисунок №1.1. Графическое отображение действующей силы и реакций на опорах.

Вроде все просто, но на самом деле мы воспользовались всеми основными аксиомами статики:

1. При всяком воздействии одного тела на другое тело в другом теле возникает противодействие, равное по значению воздействию но направленное противоположно. В данном случае противодействие - это реакция опоры.

2. Механическое состояние тела не изменится, если освободить тело от связей и приложить к тем же точкам тела силы, равные действовавшим на них силам реакций связей. В данном случае мы заменили опоры опорными реакциями.

3. Если тело под воздействием системы сил находится в состоянии равновесия (покоя) или продолжает двигаться с постоянной скоростью, то такая система сил, является уравновешенной (равной 0). Таким образом мы можем составить два уравнения, удовлетворяющие условиям равновесия системы:

∑_у= Q - R_лев- R_пр= 0 (1.1) - для сил, действующих вдоль оси у.

∑_х= 0 (1.2) - для сил (которых в данном случае нет), действующих вдоль оси х.

Всех нас в школе учили, что ось х проходит горизонтально, а ось у - вертикально, нарушать эту традицию не будем. Так как реакция на правой опоре равна нулю, то получается, что реакция на левой опоре равна действующей силе, оказывается - это тоже одна из аксиом статики:

4. Две силы, приложенные к некоему телу, считаются уравновешенными тогда и только тогда, когда они равны по величине и действуют по одной прямой в противоположные стороны.

5. Не нарушая равновесного состояния тела, к нему можно приложить или отнять от него любую уравновешенную систему сил.

Теперь немного усложним задачу. Наша линейка, то есть балка лежит на двух опорах и когда мы давим на линейку пальцем между опорами, а говоря по-научному, прикладываем нагрузку, то реакция возникает на обоих опорах. Так как равновесие системы мы можем наблюдать невооруженным глазом, то логично предположить, что суммарная реакция опор численно равна приложенной нагрузке. Определить значение реакций опор можно простым графическим методом (по линиям влияния):

Рисунок №1.2. Графическое отображение изменения реакций опор в зависимости от расстояния приложения нагрузки.

Если у нас нагрузка Q=1 кгс приложена на левой опоре, то реакция на левой опоре (на графике обозначена синим цветом) будет R_лев=1 кгс, а на правой опоре R_пр=0 кгс. Если соединить эти значения, то мы получим прямоугольный треугольник, у которого нижний катет - это длина балки, второй катет - это реакция на опоре, к которой приложена нагрузка, гипотенуза в данном случае показывает изменение реакции опоры по длине балки, эта линия и называется линией влияния. Если изобразить то же самое для реакции на правой опоре, то мы получим точно такой же треугольник, но для наглядности изобразим его перевернутым. В итоге мы получили обычный прямоугольник из двух прямоугольных треугольников, но на самом деле это магический прямоугольник (номограмма), который без особых расчетов позволяет определить реакцию на любой опоре в зависимости от точки приложения нагрузки:

Рисунок №1.3. Графическое определение реакций опор.

Например, расстояние между книгами 20 см. Это значит, что расстояние между опорами (пролет нашей балки) - 20 см, а в общем случае l. Длина балки измеряется по оси х. Если приложить сосредоточенную нагрузку на некотором расстоянии от левой опоры - х, то значение реакции левой опоры будет равно длине отрезка, проведенного перпендикулярно длинному катету синего треугольника, а значение реакции правой опоры - это длина отрезка, проведенного перпендикулярно длинному катету красного треугольника. В сумме они составляют единицу, так как мы принимали значение нагрузки равное 1.

Определить реакцию опор можно и математическими формулами, описывающими пропорциональность прямоугольных треугольников: Если нагрузка приложена на расстоянии х от опоры при общей длине балки l, то реакция на правой опоре будет:

R_пр = В = Q·x/l (1.1)

а реакция на левой опоре будет:

R_лев = А = Q(l - x)/l (1.2)

Конечно при расчетах все пользуются формулами, но наглядность треугольников нам еще пригодится.

При определении реакции опор от действия распределенной нагрузки, сначала определяется равнодействующая сила, т.е. распределенная нагрузка сводится к сосредоточенной, а потом определяются реакции опор в зависимости от точки приложения сосредоточенной нагрузки. Если распределенная нагрузка является равномерно распределенной и приложена по всей длине балки, то реакции опор будут А = В = ql/2. Как определить реакции опор в других случаях, надеюсь, станет понятно из дальнейшего описания.

Если мы положим 20 см линейку на книги и надавим пальцем посредине, то линейка прогнется на некоторое расстояние, если мы возьмем 40 см линейку такого же сечения и из такого же материала, обопрем ее на книги, уложенные на расстоянии 40 см, и приложим к линейке точно такую же нагрузку, то расстояние, на которое прогнется линейка, будет больше, в чем же дело? ведь ни нагрузка, ни материал балки, ни сечение балки не изменились, изменилась только длина балки. Строительная механика это чудо объясняет так: силы, действующие на балку, это одно, а вот изгибающий момент, возникающий при действии силы, это совсем другое. Все мы помним Архимеда и его радость при открытии принципа рычага, так вот этот принцип действует везде, суть его сводится к следующему: чем больше рычаг, тем меньшую силу можно приложить для совершения одной и той же работы. В теоретической и строительной механике используется понятие плечо силы, как более корректное, таким образом считается, что внутренние напряжения возникающие в поперечном сечении балки под действием нагрузки, прямо пропорциональны плечу действующей силы. А это значит, что реакции опоры - это силы которые пытаются изогнуть балку, при этом точка опоры рычага - это наша нагрузка. Такое изменение значения момента в зависимости от плеча силы в математике называется изменением значения функции в зависимости от переменной х, таким образом получается, что значение момента в любой точке нашей балки можно описать уравнением М = Р • x. Формула вроде бы не сложная, но очень важная.

Получается, что на участке балки от начала до точки приложения силы Q (обозначим этот участок как а) на балку действует только одна сила - реакция опоры R_лев (для простоты реакции на опорах часто обозначаются большими буквами, так как опор бывает много, крайнюю левую опору принято обозначать - " А ") и тогда уравнение момента на этом участке будет выглядеть:

М = Ах (1.3)

а на участке после точки приложения силы Q до конца балки на балку действуют две силы - реакция опоры А и сама сила Q и тогда уравнение момента будет выглядеть так:

М = Ах - Q(x - a) (1.4)

В точке на правой опоре балки уравнение моментов будет выглядеть так:

М = Ах - Q(x - a) + В(х - l) (1.5)

Эти уравнения описывают статическое равновесие системы. Например, на опорах никакого изгибающего момента нет и действительно, решение уравнения (1.3) при х=0 дает нам 0 и решение уравнения (1.5) при х=l дает нам тоже 0. Кроме того, эти уравнения позволяют определить значение момента в любой точке балки. Чтобы не углубляться в абстракции математики рассмотрим наглядный пример: