Расчётные схемы и уравнения равновесия

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ИНДИВИДУАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ 1

Условие задачи

Механическая система состоит из 2-х балок ВС и АС, соединённых между собой цилиндрическим шарниром С. В точке А балка СА закрепляется в вертикальной стенке с помощью жёсткой заделки, в точке В – с помощью невесомого стержня ВD. Система нагружена равномерно распределённой нагрузкой интенсивностью q, парой сил с моментом М и силой Р₁.

Определить реакции в точках А, В, С. Весом балок и трением в шарнирах пренебречь.

Дано: q = 4,8 кН/м, Р₁ = 1,5 кН, М = 1 кН ×м, a = 1,2 м,
a = 60^о, b = 30 ^о

Рис. 1

Расчётные схемы и уравнения равновесия

Поскольку система состоит из двух тел, то рассмотрим равновесие каждого из них.

Балка ВС (рис. 2)

Рис. 2

Рассмотрим равновесие балки ВС:

- активные силы, действующие на балку ВС: равномерно распределённую нагрузку интенсивностью q заменяем сосредоточенной силой Q = 5aq, точка приложения силы Q – точка Е; модуль силы Q равен Q = 5 q × a = 5 × 4,8 × 1,2 = 28,80; (кН)

- связи: в точке В – невесомый стержень, реакция которого R_B (см. рис.2); в точке С – цилиндрический шарнир, составляющие реакции которого: R_CX, R_CY (см. рис.2).

Таким образом, на балку ВС действует система сил: (Q, R_B, R_CX, R_CY) – Балка находится в равновесии, значит выполняются следующие условия:

SF_KX = 0,

SF_KY = 0,

Sm_C(F_K) = 0.

Для балки ВС (см. рис. 2):

1) SF_KX = R_B + R_CX – Q × sin a = 0,

2) SF_KY = R_CY – Q × cos a = 0,

3) Sm_C(F_K) = Q × 2,5a – R_B × 5a × sin a = 0.

Балка СА (рис. 3)

Рис. 3

Рассмотрим равновесие балки АС:

- активные силы, действующие на балку АС: сила Р₁, момент М;

- связи: в точке А – жёсткая заделка, реакция состоит из силы реакции (направление её заранее неизвестно, поэтому силу раскладываем на составляющие R_AX, R_AY ) и пары сил с моментом М_А; в точке С – цилиндрический шарнир, составляющие реакции которого R’_CX, R’_CY
(см. рис. 3), которые согласно третьему закону Ньютона направлены противоположно соответствующим реакциям балки ВС.

Уравнения равновесия балки АС:

4) SF_KX = R_AX – R’_CX + P₁ × cos b = 0,

5) SF_KY = R_AY – R’_CY – P₁ × sin b = 0,

6) Sm_C(F_K) = M + M_A – (P₁ × sin b) × 3a + R_AY × 5a = 0.