Пример: периодическая последовательность прямоугольных импульсов

Пример: периодическая последовательность прямоугольных импульсов с амплитудой Е, длительностью и периодом Т (рис.5). Отношение называется скважностью последовательности. Такой сигнал не удовлетворяет условиям для функций, к которым применимо разложение в обобщенный ряд Фурье. Однако существующие реальные сигналы, близкие по форме к прямоугольным импульсам, удовлетворяют этим условиям. Поэтому для простоты можно заменить реальные почти прямоугольные импульсы идеализированными прямоугольными, хотя ряд Фурье для них плохо сходится в углах.

Итак, пусть , причем в течение периода сигнал можно описать выражением:

при

Рис. 5

Для упрощения вывода формулы для коэффициентов ряда Фурье, выберем такой интервал интегрирования, на котором сигнал, отличный от нуля расположен симметрично. Обозначим через t₀ время, соответствующее середине импульса на одном из периодов (лучше ближайшем к началу отсчета). Тогда и на периоде имеем

.

Тогда коэффициенты тригонометрического ряда Фурье определятся следующим образом:

;

Проведя преобразования, получим:

;

.

Аналогичные результаты гораздо проще получить с помощью коэффициентов для комплексного ряда Фурье. Действительно,

т.к. A_n=2C_n, то .

Соотношения для A_n легко привести к виду, удобному для построения АЧС, помножив и разделив его на , получим:

.

Учитывая, что , можно получить и следующее выражение:

.

Так для q=2 («меандр») получаем следующие значения для амплитуд и фаз составляющих спектра:

и т.д.

(добавление величины обусловлено переходом синуса через нуль).

Таким образом, спектр меандра имеет вид рис. 6:

Рис. 6

Часто изменение знака синуса отражают на амплитудно-частотном спектре, показывая как бы отрицательное значение амплитуды. Тогда АЧС и ФЧС выглядят следующим образом (рис. 7):

Рис. 7

Если сигнал задан так, что t ₀ = 0, то все , и можно ограничиться только графиком АЧС с «отрицательными» амплитудами.

При увеличении скважности за счет, например, увеличения периода при неизменном , амплитуды составляющих уменьшаются, расстояние между ними также уменьшается.

При произвольных значениях q и t ₀ удобнее воспользоваться построением огибающих АЧХ и ФЧХ. Заменим на текущее значение частоты . Получим

Построим график . Из соотношения для A_n видим, что огибающая меняет знак и, следовательно, проходит через нуль в точках, где , откуда определяем частоты прохождения огибающей АЧХ через нуль:

, где к= 1, 2, 3, …

Частота, соответствующая k= 1, называется первым нулем спектра. Если , то частота первого нуля равна , а если , то . Следующие нули огибающей спектра кратны этой величине. На частоте огибающая имеет максимум равный

,

откуда постоянная составляющая

.

Следующий максимум будет на частоте .

Величина огибающей на этой частоте равна

;

то есть второй максимум примерно в 5 раз ниже максимума на нулевой частоте. Следующие максимумы уменьшаются пропорционально частоте.

Огибающая ФЧХ линейна и зависит от величины запаздывания или опережения середины импульса относительно t= 0, т.е. .

Таким образом, графики огибающих можно нарисовать так, как пунктиром показано на рис.8.

Рис. 8

Для построения самого спектра (АЧС и ФЧС) достаточно на частотах, кратных , провести отрезки до пересечения с огибающей. Для меандра (q= 2) в каждом лепестке огибающей (между нулями) будет лишь по одной ненулевой составляющей на частотах: и т.д. Постоянная составляющая . Все четные гармоники имеют в этом случае нулевые амплитуды. Можно амплитудный спектр построить без учета знака синуса во втором, четвертом и т.д. лепестках, в этом случае на этих частотах к следует добавить .