Сложение световых волн

1. Сложение однонаправленных волн. Пусть на оси ОХ находятся два источника S ₁ и S ₂ в точках с координатами х ₁ и х ₂ (рис.81). В момент времени t = 0 источники начали излучать две монохроматические одинаковой частоты w линейно поляризованные в одной плоскости световые волны.

, (10.1)

, (10.2)

Здесь v - скорость распростране-ния волны.

Электрическое и магнитное поля подчиняются принципу суперпозиции. Поэтому при наложении волн в любой точке А их напряженности складываются. . (10.3)

Здесь j = w(х ₂ – х ₁ )/v - сдвиг фаз между волнами. Помимо параметров волны w и v на него влияет расстояние между источниками D = х ₂ – х ₁.

Сдвиг фаз определяет амплитуду Е _а суммарной волны .(10.4)

Если разность фаз в данной точке пространства постоянна, то амплитуда результирующего колебания в этой точке постоянна. В зависимости от разности фаз j в точке будет наблюдаться или усиление интенсивности света (j = 0, Е _а = Е _а1 + Е _а2), или ослабление (j = p, Е _а = Е _а1 – Е _а2). При равенстве амплитуд Е _а1 = Е _а2 и при j = p, Е _а = Е _а1 – Е _а2 = 0. Происходит полное гашение света.

2. Интерференционная картина. В реальных случаях складываемые волны сходятся обычно под некоторым углом друг к другу (рис.82). В результате в разных точках пространства А ₁, А ₂, А ₃… разность фаз j оказывается разной. Возникает пространственное распределение интенсивности света в виде чередующихся светлых и темных полос. Это так называемая интерференционная картина.

Явление сложения волн с одинаковой частотой и постоянной во времени, достаточном для наблюдения, разностью фаз, при котором происходит перераспределение интенсивности в пространстве, называется интерференцией. Интерференционная картина наиболее контрастна, когда амплитуды складываемых волн одинаковы.

3. Когерентность (от лат. cohaerens – находящийся в связи) – согласованность во времени нескольких колебательных или волновых процессов, проявляющаяся при их сложении. Естественные источники света состоят из огромного количества хаотически вспыхивающих и потухающих излучателей – атомов и молекул. Через каждую точку оптически прозрачной среды, окружающей источник, проходят друг за другом цуги волн, испущенные разными атомами и имеющие разные амплитуды, фазы и частоты. Поэтому сделать два не лазерных источника света когерентными принципиально невозможно.

Получение когерентных лучей от естественных источников возможно путем расщепления луча от одного источника и создания между ними постоянного сдвига фаз. В этом случае лучи повторяют себя во всех деталях и потому могут интерферировать между собой.

Но при создании разности фаз надо помнить, что цуг волн, испущенный отдельным атомом, имеет конечную протяженность вдоль луча. При длительности испускания 10^–11 ¸ 10^–8 с эта протяженность не превышает 1 ¸ 3 м. Поэтому можно сказать, что через каждые 10^-8 с волна, излучаемая даже одним атомом меняется.

Но даже отдельный цуг не есть отрезок синусоиды. Фаза колебания вектора Е на его протяжении непрерывно изменяется. Поэтому «голова» цуга не когерентна его «хвосту».

Время t, в течение которого фаза колебаний в световой волне, измеряемая в постоянной точке пространства, изменяется на p, называется временем когерентности. Расстояние сt, где с – скорость света, измеренное вдоль направления распространения волны, называется длиной когерентности. Свет разных источников имеет длину когерентности от нескольких микрометров до нескольких километров:

– солнечный свет, сt» 1 ¸ 2 мкм,

– спектры разреженных газов, сt» 0,1 м,

– лазерное излучение, сt» 1 ¸ 2 км.

Для описания когерентных свойств волны в плоскости, перпендикулярной направлению ее распространения, применяют термин простран-ственная когерентность. Она определяется площадью круга диаметром l, во всех точках которого разность фаз не превышает величины p.

Пространство когерентности у точечного источника естественного света приближается к объему усеченного конуса длинной несколько мкм и диаметром основания несколько мм (рис.83). С удалением от источника оно увеличивается.

4. Построение интерференционной картины методом Юнга. Первую схему двух-лучевой интерференции предложил в 1802 г. Томас Юнг. Он первый в ясной форме установил принципы сложения амплитуд и дал объяснение интерференции в волновой модели света. Суть схемы Юнга сводится к следующему.

Нормально лучам от естественного источника света устанавливается экран Э₁ с узкой щелью S. Эта щель играет роль точечного источника света S. Распространяющаяся от S цилиндрическая волна возбуждает в щелях S ₁ и S ₂ экрана Э₂ когерентные колебания. Поэтому волны, распростра-няющиеся от щелей S ₁ и S ₂, при взаимо-действии дают на экране Э₃ интер-ференционную картину в виде системы параллельных щелям полос (рис.84).

Хотя на практике метод Юнга не применяется из-за слабой освещенности экрана Э₃, он удобен для теоретического изучения двухлучевой интерференции с целью получения количественных оценок. Для этого представим схему Юнга в виде, показанном на рис.85.

Если S ₁ и S ₂ – когерентные источники света, излучающие в одинаковой фазе, то в любую произвольную точку А экрана Э₃ будут приходить волны с разностью хода D = l ₂ – l ₁. Полагая на рисунке а<<L, из приближенного условия D /а = yçL получаем величину разности хода, D = аyçL. Она набегает тем больше, чем дальше точка наблюдения А от оси симметрии ОХ интерференционной картины (координата y), чем больше расстояние между щелями и чем ближе экран Э₃ к щелям (расстояние L).

Максимум освещенности будет в тех точках экрана, где D составляет целое число волн, а минимум освещенности - где D составляет нечетное число полуволн.

Рис.85

, k = 0, 1, 2, 3, (max), (10.5)

, k = 1, 2, 3,(min), (10.6)

Здесь k – номер полосы. При малых углах j полосы располагаются равномерно. Расстояние между соседними темными или соседними светлыми полосами равно

. (10.7)

Оно тем больше, чем меньше расстояние а между источниками и чем больше расстояние L от источников до экрана.

При а = 1 мм, L = 1 м, D у = 0,5×10^–6×1 ç 10^–3 = 0,5 мм для зеленых лучей.

5. Контрастность интерференционной картины зависит от протяженности источника света S и от степени монохроматичности света.

а. Влияние немонохроматичности света. В том случае, когда интерферируют немонохроматичные волны, максимумы на экране для разных длин волн не совпадают. В результате интерференционная картина размывается. Она полностью смазывается, когда на k -ый максимум волны с длиной l + D l приходится k + 1-й максимум волны с длиной l.

. (10.8)

Все пространство минимума для волны l занято максимумами с длинами от l до l + D l.

Критерий монохроматичности ограничивает число наблюдаемых полос. Например для солнечного света с l от 0,4 до 0,8 мкм весь спектральный диапазон можно представить в виде: l = l ₀ ± D l = 0,6 ± 0,2 мкм. Максимальный порядок наблюдающейся интерференционной полосы k _max = l ₀ / D l = 0,6 / 0,2 = 3. Значит, могут наблюдаться 6 темных полос, соответствующих k = –3, –2, –1, +1, +2, +3.

Сжимая с помощью светофильтров спектральный интервал, можно увеличить число и контрастность наблюдаемых полос.

б. Влияние протяженности источника. Пусть ширина щели S равна b (рис.86). Чтобы щели S ₁ и S ₂ излучали в одной фазе, нужно, чтобы лучи, приходящие в каждую щель от разных точек источника S, имели малую разность хода D, не более четверти длины волны. . (10.9)

Угол w обычно не больше 1°. Поэтому ограничение по ширине щели можно записать так: . Но w = аç2d, где а - расстояние между щелями S ₁ и S ₂, d - расстояние от щели S до S ₁ и S ₂. Тогда b<ldç2a (10.10)

При а = 1 мм, d = 1 м, l = 0,6×10^–6 м, b< 0,6×10^–6×1 ç 2×10^–3 = 0,3×10^–3 м = 0,3 мм. Для получения хорошей контрастности эта величина должна быть уменьшена еще в 3-4 раза.

6. Практические методы наблюдения интерференции.

а. Бизеркала Френеля, 1816 г. (рис.87). Свет от источника, заключенного в светонепроницаемый кожух, через отверстие в нем попадает расходящимся пучком на два плоских зеркала. Угол между зеркалами a» 179°.

Рис.88

Достоинство метода – хорошая освещен-ность, недостаток – сложность юстировки зеркал на оптической скамье.

б. Бипризма Френеля, 1819 г. (рис.88). Достоинства – хорошая освещенность и простота юстировки, недостаток – требуется специальная бипризма, изделие оптической промышленности.

Здесь S ₁ и S ₂ – мнимые изображения источника света S.

в. Билинза Бийе, 1845 г. (рис.89). Собирающая или рассеивающая линза разрезается (раскалывается) по диаметру, и обе половины слегка раздвигаются в стороны.

Чем дальше раздвинуты друг от друга полулинзы, тем сильнее сжата интерференцион-ная картина, тем уже полосы. Здесь S ₁ и S ₂ – действительные изображения источника света S.

г. Зеркало Ллойда, 1837 г. (рис.90). Прямой пучок от источника S интерферирует с пучком, отраженным от зеркала.

Здесь S – освещенная щель, S ₁ – ее мнимое изображение.