Тонкие линзы

1. Преломление света на сферической поверхности. Пусть две среды с показателями преломления n ₁ и n ₂ разделяются сферической поверхностью S. Если из точки A ₁, лежащей на главной оптической оси поверхности, выходит узкий гомоцентрический пучок лучей, то, преломившись на поверхности, он сходится в точке A ₂ (полагаем n ₂ > n ₁). Найдем связь между расстоянием a ₁ от предмета A ₁ до вершины поверхности точки O, между расстоянием a ₁ от вершины поверхности O до изображения A ₂ и радиусом кривизны поверхности R.

Рассмотрим один луч A ₁ MA ₂, где M – точка на поверхности, в которой луч преломляется (рис.33). По теореме синусов в треугольниках A ₁ MC и MCA ₂ имеем:

, , (6.1)

, , (6.2)

Разделим 1-е уравнение на 2-е.

. (6.3)

Полагаем пучок лучей параксиальным. В этом случае с учетом правила знаков A ₁ M = A ₁ O = -a ₁, MA ₂ = OA ₂ = a ₂, MC = OC = R, A ₁ C = –a ₁ + R, CA ₂ = a ₂- R. Уравнение (6.3) принимает вид: . (6.4)

Избавившись от дробности и разделив на a ₁ a ₂ R, получаем: . (6.5)

Это формула преломляющей сферической поверхности. Интересно, что при n ₂ = - n ₁ она переходит в формулу сферического зеркала.

Из формулы (6.5) следует, что любой луч, вышедший из точки A ₁, при малых углах y ₁ независимо от положения точки преломления M придет в одну и ту же точку A ₂. Сферическая преломляющая поверхность преобразует один гомоцентрический пучок в другой.

2. Фокусы сферической преломляющей поверхности. Если на сферическую границу падает пучок лучей, параллельных главной оптической оси, например слева, то - a ₁ = ∞. Отсюда находим a ₂: . (6.6)

Если пучок падает справа, то a ₂ = ∞, и . (6.7)

Величины f ₁ и f ₂ определяют расстояния от вершины поверхности O до точек F ₁ и F ₂, в которых сходятся параллельные пучки. Точки F ₁ и F ₂ – это фокусы преломляющей поверхности, а f ₁ и f ₂ – фокусные расстояния.

3. Тонкая линза. Оптически прозрачное тело, ограниченное двумя гладкими кривыми поверхностями, называется линзой. Бывают цилиндрические, сферические, конические и другие линзы. Рассмотрим сферическую линзу с радиусами кривизны поверхностей R ₁ и R ₂. Полагаем, слева по рис.34 от линзы находится среда 1 с показателем преломления n ₁, справа от линзы – среда 2 с показателем преломления n ₂. Вещество самой линзы имеет показатель преломления n.

Полагаем линзу тонкой, то есть считаем, что толщина ее O ₁ O ₂ мала по сравнению с радиусом кривизны поверхностей линзы R ₁ и R ₂. Это значит, что точки O ₁ и O ₂ совпадают с точкой O, называемой оптическим центром линзы.

Все лучи, проходящие через точку O, не меняют своего направления и называются осями линзы. Ось, проходящая через центры кривизны поверхностей точки c ₁ и С ₂, называется главной оптической осью линзы, остальные – побочными осями.

4. Формула тонкой линзы. Найдем связь между расстоянием от линзы до светящейся точки A ₁, расстоянием a ₂ от линзы до изображения этой точки A ₂ и параметрами линзы R ₁ и R ₂ и сред n ₁, n ₂, n.

Преломление лучей на первой сферической поверхности S₁ создало бы без второй сферической поверхности S₂ в сплошной среде с показателем преломления n изображение A ₂' на расстоянии a ₂' от вершины O. Так что из формулы (6.5) следует: .(6.8)

Для второй поверхности S₂ изображение A ₂' является мнимым источником света. Построение изображения этого источника A ₂' после преломления на поверхности S₂ дает точку A ₂ на расстоянии a ₂ от линзы. Так что можно записать:

. (6.9)

Просуммировав оба выражения, получаем формулу линзы. . Общая формула линзы. (6.10)

5. Фокусы линзы. При падении параллельного пучка слева, когда a ₁ = -∞, получаем фокусное расстояние справа от линзы f ₂, а при падении пучка справа, когда a ₂ = +∞, получаем фокусное расстояние f ₁ слева от линзы.

, . (6.11)

В подавляющем большинстве практических случаев линза находится в однородной среде с показателем преломления n ₁. Тогда n ₂ = n ₁, и формула линзы упрощается. Так как обычно n > n ₁, то формулу удобно записать так: . (6.12)

Здесь - фокусное расстояние линзы. (6.13)

Если линза находится в однородной сфере, то фокусы линз слева и справа удалены на одинаковое расстояние f. Если n > n ₁, то линза, более толстая в средине, называется собирающей. Ее фокусное расстояние положительно, f > 0, а фокус действительный (рис.35).

Линза, более толстая по краям, чем в середине, называется рассеивающей. Ее фокусное расстояние отрицательно, f < 0, а фокус мнимый (рис.36).

На рис.35 показаны сечения разных типов собирающих линз: двояковыпуклая (а), плосковыпук-лая (б), мениск (в). На чертежах собирающие линзы изображаются отрезком со стрелками на концах и с точками главных фокусов (рис.35-г).

Типы рассеивающих линз пока-заны на рис.36: двояковогнутая (а), плосковогнутая (б), мениск (в). Схема-тическое изображение на рис.36-г.

Величина, обратная фокусному расстоянию линзы, называется ее оптической силой . (6.14)

Единица измерений D называется диоптрия (дптр). Линза с фокусным рас-стоянием f = 1 м имеет оптическую силу D = 1 дптр, с f = 0,5 м – D = 2 дптр и так далее. У собирающих линз D > 0, у рассеивающих D < 0. Наиболее часто в диоптриях определяют оптическую силу очковых линз.

6. Построение изображений в собирающих линзах выполняется с помощью трех лучей: луча 1, проходящего через оптический центр не преломляясь, луча 2, идущего параллельно главной оптической оси, а после линзы – через задний фокус F ₂, и луча 3, идущего через передний фокус F ₁, а после линзы – параллельно главной оптической оси.

Различают 3 случая.

а. Предмет находится от линзы дальше двойного фокусного расстояния (рис.37). Изображение действительное, перевернутое, уменьшенное.

б. Предмет находится между двойным и главным фокусами линзы (рис.38). Изображение действительное, перевернутое, увеличенное. По сравнению с первым случаем предмет и изображение меняются местами.

в. Предмет находится между главным фокусом и линзой (рис.39). Изображение мнимое, прямое и увеличенное. Этот случай соответствует использованию линзы в качестве лупы.

7. Построение изображения в рассеивающих линзах. Пучок лучей, параллельных главной оптической оси, пройдя собирающую линзу, сходится в точке заднего главного фокуса F ₂ (рис.40). Такой же пучок лучей, прошедший рассеивающую линзу, расходится. Через фокус рассеивающей линзы идут не сами лучи, а их продолжения, построенные в обратном ходу лучей направлении (рис.41). Поэтому если задний фокус F ₂ собирающей линзы находится справа, то у рассеивающей линзы он находится слева. Справа находится передний фокус F ₁.

Независимо от расстояния до предмета во всех случаях получается мнимое, уменьшенное, прямое изображение, расположенное между предметом и линзой (рис.42).

8. Построение изображения точки A ₁, лежащей на главной оптической оси, делается с помощью произвольного луча 1, вышедшего из точки A ₁, вспомогательного параллельного луча 2, проходящего через оптический центр линзы не преломляясь. Этот вспомогательный луч 2 позволяет определить направление преломленного луча 1 после выхода из линзы.

Пересечение самого луча 1 или его продолжения с главной оптической осью и дает изображение A ₂. В первом случае действительное, во втором – мнимое.

9.