Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
1. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида (7.4) где - известные функции переменной х. Термин «линейное уравнение» поясняется тем, что неизвестная функция у и её производная у ’ входят в уравнение в первой степени, то есть линейно. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка всегда интегрируемо в квадратурах, поскольку его можно всегда свести к двум уравнениям с разделяющимися переменными таким образом (методом Бернулли). Будем искать решение уравнения (7.4) в виде произведения (7.5) где - неизвестные функции х. Находя производную и подставляя значение у и у’ в уравнение (7.5), получим (7.6) Выберем функцию так, чтобы выражение в скобках равнялось нулю. Для этого надо решить уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим . (7.7) Постоянную интегрирования в выражении (7.7) не пишем, поскольку нам достаточно найти только какую-нибудь одну функцию , которая преобразовывает в ноль выражение в скобках в уравнении (7.6). Подставляя (7.7) в (7.6), получим (7.8) Подставляя (7.7) и (7.8) в (7.5), найдём общее решение уравнения (7.4): (7.9) Замечание. На практике помнить формулу (7.9) не обязательно: достаточно лишь помнить, что линейные дифференциальные уравнения первого порядка, а также уравнения Бернулли, решаются методом Бернулли с помощью подстановки . Уравнением Бернулли называется уравнение вида где - известные функции х, . 2. Комплексным числом называется выражение , (7.10) где х, у – действительные числа, а символ i – мнимая единица, которая определяется условием . При этом число х называется действительной частью комплексного числа z и обозначается , а у – мнимой частью z и обозначается (от французских слов: reel – действительный, imaginare – мнимый). Выражение (7.10) называется алгебраической формой комплексного числа. Два комплексных числа и , которые отличаются только знаком мнимой части, называются сопряжёнными. Два комплексных числа и считаются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части:
Комплексные числа можно изображать на плоскости. Так число (7.10) изображается в прямоугольной системе координат точкой М (х; у). Такая плоскость называется комплексной плоскостью переменной z, ось Ох называется действительной, у а ось Оу – мнимой. При у =0 комплексное число является одновременно у М (х; у) действительным числом. Поэтому действительные числа являются отдельным случаем комплексных, они изображаются на оси Ох. Комплексные числа , в которых х =0, называются чисто мнимыми; такие числа изображаются на оси Оу. 0 х х Полярные координаты точки М (х; у) на комплексной плоскости называются модулем и аргументом комплексного числа и обозначаются Поскольку , то по формуле (7.10) имеем . Это выражение называется тригонометрической формой комплексного числа z. Модуль комплексного числа определяется однозначно, а аргумент – с точностью до 2 : . Здесь - общее значение аргумента, а - главное значение аргумента, которое находится на промежутке [0; и отсчитывается от оси Ох против часовой стрелки. Если , то считают, что а - неопределён. Арифметические действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме, выполняются по обычным правилам действий над двучленами с учётом того, что . Так, если , , то 1) 2) 3) 4) . Рассмотрим действия над комплексными числами в тригонометрической форме. Пусть , . Тогда = Значит, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на произвольное конечное число множителей. В частности, . Последняя формула называется формулой Муавра. При делении комплексных чисел имеем . Рассмотрим извлечение корня из комплексного числа. Если для данного комплексного числа надо найти корень п- й степени , то по определению корня и формуле Муавра имеем . Отсюда , . Поскольку r и положительные, то , где под корнем понимают его арифметическое значение. Поэтому . Давая k значения 0,1,2,…, п -1, получим п разных значений корня. Для других значений k аргументы будут отличаться от найденных на число, кратное 2 , поэтому значения корня будут совпадать с уже найденными. Известно, что показательную функцию с мнимым показателем можно выразить через тригонометрические функции по формуле Эйлера . Отсюда следует, что всякое комплексное число можно записать в форме , которая называется показательной формой комплексного числа z. 3. Уравнение вида (7.11) где р, q – постоянные числа, называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Для его решения сначала надо составить характеристическое уравнение (7.12) В зависимости от корней уравнения (7.12) общее решение уравнения (7.11) приобретает один из таких видов: 1) , если действительные и ; 2) , если действительные и ; 3) , если , (). Пример 7.8. Решить уравнение (7.13) Решение. Сначала составим и решим соответствующее характеристическое уравнение: D = 32- 4*5= -11, Характеристическое уравнение имеет два сопряжённых корня: . Поэтому общее решение уравнения (7.13) будет таким: . Лекция 17. Тема – Ряды. Числовые ряды. Признаки сходимости. Степенные ряды. План. Основные понятия. Необходимое условие сходимости ряда.
|