Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Интегрирование некоторых иррациональных и тригонометрических функций1. Рациональной функцией или рациональной дробью называют дробь где Рт (х), Qn (x) – многочлены степени т и п: Qn (x) = хп+ хп -1+...+ , Рт (х) = хт+ хт -1+...+ . Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя т< п, и неправильной, если т п. Неправильную дробь всегда можно записать в виде суммы многочлена и правильной дроби. Поскольку многочлены интегрируются очень легко, то задача интегрирования рациональных функций сводится, таким образом, к интегрированию правильных дробей. Правильные дроби, в свою очередь раскладываются на элементарные дроби. Поэтому рассмотрим интегрирование элементарных дробей. Различают четыре вида элементарных дробей: І. , ІІ. , ІІІ. , ІV. , где п= 2,3,..., а трехчлен х2+рх+q не имеет действительных корней, то есть D=р2- 4 q< 0. Рассмотрим, как интегрируются эти дроби. І. ІІ. ІІІ. Пример. --- = - . 2. Как известно из алгебры, многочлен Qn (x) степени п может быть разложен на линейные и квадратичные множители Qn (x) = (х-х ) k … (х-хr) k (x2+p x+q ) l …(x2+p x+q ) l , где , х , p , q - действительные числа; k , I - натуральные числа; k +…+ k + 2(I +…+ I )= n, р 2- 4 q < 0. Рассмотрим правильную рациональную дробь знаменатель которой уже разложен на линейные и квадратичные множители. Тогда эту дробь можно разложить на сумму элементарных дробей по таким правилам: 1) множителю (х-а) k соответствует сумма дробей вида + +…+ ; 2) множителю (x2+px+q) I соответствует сумма дробей вида + +…+ , где А , М , N - неопределённые коэффициенты. Искать эти неопределённые коэффициенты можно исходя из того, что равные многочлены имеют равные коэффициенты при одинаковых степенях х. Пример. Вычислить интеграл . Решение. + , х+ 5= А (х+2)+ В (х+ 1), А= 4, В =-3. = 4 -3 = 4ln -3ln + C. 3. 1. Интегралы вида где R (х, у) – рациональная функция относительно х и у, , сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью подстановки ax+b=t . 2. Интегралы вида где R – рациональная функция, p , q - целые числа, сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью подстановки =t , где п – общий знаменатель дробей , ,…. 3. Интегралы вида (6.1) всегда сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью, так называемой, универсальной тригонометрической подстановки , , , х= 2arctg t, dx= . Замечание. Универсальная тригонометрическая подстановка всегда приводит к цели, но в силу своей универсальности она часто требует неоправданно громоздких вычислений. Поэтому во многих случаях удобнее пользоваться другими подстановками. Рассмотрим некоторые из них. 1) Если в интеграле (6.1) R (-sin x, cos x)= - R (sin x, cos x), то удобно делать подстановку cos x=t. 2) Если R (sin x,-cos x)= - R (sin x, cos x), то удобно делать подстановку sin x=t. 3) Если R (-sin x, -cos x)= R (sin x, cos x), то удобно делать подстановку tg x=t, , , х= arctg t, dx= . 4. Рассмотрим более детально интегралы вида , где т, п – целые числа. 1) Если т – нечётное положительное число, то удобно делать подстановку cos x=t. 2) Если п – нечётное положительное число, то удобно делать подстановку sin x=t. 3) Если оба показателя т и п – чётные неотрицательные числа, то надо делать понижение степени синуса и косинуса по формулам , . 4) Для нахождения интегралов вида , удобно пользоваться формулами
5. В интегралах , , , надо подынтегральную функцию записать в виде суммы функций с помощью формул Лекция 14. Тема – Задача о площади криволинейной трапеции. Определённый интеграл его геометрический смысл и свойства.
|