Дмитрий Вячеславович Амелин

Построение сечений. Специально для 10-ки!

Как известно, сечением выпуклого многогранника является плоский многоугольник. Если рассматривать общий случай, то вершины этого многоугольника есть точки пересечения секущей плоскости с рёбрами многогранника, а стороны – отрезками, по которым секущая плоскость пересекает грани многогранника. Задачи на построение сечений как раз и состоят в том, чтобы изобразить данный многоугольник, а точнее, его параллельную проекцию на чертеже заданного многогранника при наличии каких-либо начальных условий, которые задают расположение секущей плоскости. В зависимости от того, как эта плоскость расположена относительно заданного многогранника, сечение может принимать вид треугольника, четырёхугольника и т.д., однако, число сторон многоугольника-сечения, естественно, не может превысить числа всех граней рассматриваемого многогранника. У данного многоугольника будет ровно столько сторон, сколько граней пересекает плоскость сечения в многограннике. Например, сечение куба плоскостью может иметь форму треугольника, четырёхугольника, пятиугольника и, максимум, шестиугольника. Причём, каждый из вышеперечисленных видов сечений может быть представлен в различных вариантах (например, треугольник может быть правильным, равнобедренным, разносторонним).

Прямую, по которой секущая плоскость пересекает плоскость какой-либо грани многогранника, называют следом секущей плоскости. Задачи на построение сечений методом следов сводятся к тому, чтобы найти все следы секущей плоскости на гранях многогранника и получить многоугольник-сечение, используя в процессе решения свойства прямых и плоскостей в пространстве.

Рассмотрим правило, с помощью которого можно построить сечение призмы (в частности, параллелепипеда). Плоскость сечения задаётся тремя точками, лежащими на рёбрах или гранях призмы.

1. Проверяем, есть ли две точки, принадлежащие плоскости сечения, в плоскости одной грани.

2. Если такие точки есть, то соединяем их. Получаем след секущей плоскости. Возвращаемся к пункту 1.

3. Если таких точек нет, то либо сечение построено, либо переходим к пункту 4.

4. Выбираем одну из граней, на которой задана точка. На этой грани будем строить след секущей плоскости.

5. Строим вспомогательную плоскость, содержащую две другие точки и пересекающую выбранную грань (обычно эту плоскость строят параллельно боковым рёбрам, если след строится в одном из оснований).

6. Затем проводим прямую, через две заданные точки, лежащие в построенной плоскости, и ищем точку пересечения этой прямой с плоскостью той грани, в которой строим след. Получаем общую точку для плоскости грани в которой строим след.

7. Соединяем эту точку с уже имеющейся у нас точкой на этой грани. Получаем след. Возвращаемся к пункту 1.

Данное правило лучше всего вводить на конкретных примерах. В качестве примера возьмём куб. Плоскость сечения зададим тремя точками (см. рис1, а), лежащими на рёбрах куба, но удовлетворяющие условию, что любые две из заданных трёх точек не принадлежат ни одной из плоскостей граней куба (берём самый общий случай, потому что, если две точки принадлежат плоскости грани куба, то соединяя их мы и получим след секущей плоскости в этой грани без дополнительных построений).

1. Выбираем грань, в которой будем искать след (например, на рис.1 выбрана верхняя грань) и проектируем на неё в направлении, параллельном боковым рёбрам, две точки, не лежащие в выбранной нами плоскости (см. рис.1, в).

2. Строим две прямые так, чтобы одна проходила через эти две точки, а другая через их проекции.

3. Соединяем точку пересечения построенных прямых с точкой, принадлежащей грани, в которой мы строим след.

4. Полученный отрезок будет принадлежать одновременно и плоскости сечения и плоскости той грани, в которой мы ищем след. Следовательно, та часть отрезка, которая принадлежит грани куба и есть след секущей плоскости в этой грани.

Таким образом, мы получили след в одной из граней. Для того, чтобы построить сечение до конца (см. рис. 2), нужно (в самом общем случае) повторить данную операцию для всех граней. В частных случаях всё гораздо проще. Нужно соединять точки, лежащие на одной грани и пользоваться свойствами конкретных фигур. Например, в случае с кубом или параллелепипедом мы знаем, что плоскости их граней попарно параллельны. Значит и следы, оставленные секущей плоскостью на этих гранях, тоже будут лежать на параллельных прямых. Следовательно, для того, чтобы построить след в плоскости грани, параллельной той, в которой след уже построен (например, в случае с кубом, если имеем след на верхнем основании, то можем построить на нижнем), достаточно провести в ней прямую, параллельную уже построенному следу, и проходящую через заданную точку. Та часть прямой, которая будет принадлежать грани, и будет являться следом (см. рис. 3).

Очевидно, что для того, чтобы построить сечение куба плоскостью, проходящей через три точки, совсем не обязательно искать каждый след с помощью приведённого выше правила. Можно один раз использовав правило и найдя один след, легко построить всё сечение целиком.

Ниже приводятся приёмы, используя которые можно облегчить процесс построения сечений.