Шар, вписанный в конус

Москва

Шар, описанный около цилиндра

Шар называется описанным около цилиндра, если окружности его оснований принадлежат поверхности шара.

осевое сечение

Обозначения: AO = R, AB = 2 R, BC = H, AD = r. В прямоугольном треугольнике AOD

Около цилиндра всегда можно описать шар, так как всегда можно описать окружность около прямоугольника.

Центр описанного шара лежит в точке пересечения диагоналей осевого сечения цилиндра – центре окружности, описанной около осевого сечения цилиндра.

Шар, вписанный в цилиндр

Шар называется вписанным в цилиндр, если он касается всех образующих и обоих оснований цилиндра.

Обозначения:

Шар можно вписать в цилиндр тогда и только тогда, когда цилиндр является равносторонним, то есть его осевое сечение – квадрат.

Шар касается оснований цилиндра в их центрах, а образующих цилиндра – по окружности, плоскость которой перпендикулярна оси цилиндра, а радиус равен радиусу оснований цилиндра.

Центр шара – середина отрезка, соединяющего центры оснований цилиндра, центр квадрата его осевого сечения.

Шар, описанный около конуса

Шар называется описанным около конуса, если вершина конуса и все точки окружности основания конуса лежат на поверхности шара.

Обозначения:

1. Δ ADB – прямоугольный:

2. Δ AКВ – прямоугольный:

Около конуса всегда можно описать шар, так как около осевого сечения конуса (равнобедренный треугольник) можно всегда описать окружность.

Центр шара – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника осевого сечения. Центр шара может лежать внутри конуса, если угол между образующими в осевом сечении конуса – острый, вне конуса, если этот угол тупой, и в центре основания конуса, если этот угол прямой.

Шар, вписанный в конус.

Шар называется вписанным в конус, если он касается всех образу-ющих конуса и основания конуса.

Обозначения:

1. Δ AСD – прямоугольный:

2. Δ ОDB – прямоугольный:

3. Δ AОК – прямоугольный:

4. Δ ОЕК – прямоугольный:

В конус всегда можно вписать шар, так как в осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник — можно всегда вписать окружность.

Центр шара - точка пересечения биссектрис треугольника осевого сечения.

Шар касается основания конуса в его центре, а боковой поверхности конуса по окружности, плоскость которой перпендикулярна оси конуса.

Шар, описанный около усеченного конуса.

Шар называется описанным около усечённого конуса, если все

точки окружностей оснований конуса лежат на поверхности шара.

Обозначения:

1. Δ ABК – прямоугольный:	2. Δ ОМС и Δ ОND – прямоугольные:
3. Δ BAD – прямоугольный:	4. Δ BКD – прямоугольный:

Около усеченного конуса всегда можно описать шар, центр которого является центром окружности, описанной около равнобедренной трапеции, являющейся осевым сечением усечённого конуса.

Центр шара лежит на оси усечённого конуса и может находиться внутри конуса, вне его и в центре большего основания конуса.

Шар, вписанный в усеченный конус.

Шар называется вписанным в усечённый конус, если он касается всех образующих и обоих оснований усечённого конуса.

Обозначения:

1.	2. Δ AВТ – прямоугольный:	3. Δ ОМС – прямоугольный:
4. Δ ОЕК – прямоугольный:	5. Δ СОD – прямоугольный:	6. Δ ОND – прямоугольный:

Шар можно вписать в усеченный конус тогда и только тогда, когда в его осевое сечение можно вписать окружность, то есть если сумма радиусов верхнего и нижнего оснований усеченного конуса равна длине образующей этого конуса. Центр шара - точка пересечения биссектрис углов трапеции осевого сечения.

Шар касается оснований конуса в их центрах, а боковой поверхности конуса по окружности, плоскость которой перпендикулярна оси конуса.