F f f f f

Рис.2. Значение коэффициента приведения длины m

в зависимости от способов закрепления концов стержня.

Нормальное напряжение в поперечном сечении сжатого стержня, соответствующее критическому значению сжимающей силы, называется критическим, s_КР.

Значение критического напряжения, исходя из формулы Эйлера:

(2),

где А – площадь поперечного сечения стержня.

Величина называется минимальным радиусом инерции поперечного сечения стержня. Тогда формулу (2) можно привести к виду:

,

или (3)

Величина называется гибкостью стержня и обозначается l:

l = (4)

Гибкость l величина безразмерная и показывает сопротивляемость стержня потере устойчивости. Чем больше гибкость, тем менее устойчив стержень. Гибкость не зависит от материала и определяется длиной и жесткостью поперечного сечения.

С учетом значения (4) формулу критического напряжения (3) можно переписать в виде:

(5)

Расчеты по формулам (1) и (5) можно выполнять только для случаев, когда критическое напряжение не превышает предела пропорциональности, примерно равного пределу упругости для данного материала, s_ПЦ ≈ s_У .

£ s_ПЦ (6)

Отсюда можно подсчитать значение гибкости, при котором действительна формула Эйлера:

(7)

Если = l_пред (8),

такая гибкость называется предельной, или граничной.

Как видно из формулы (8), предельная гибкость зависит от материала стержня и постоянна для данного материала. На практике бывают случаи, когда материал работает при напряжениях, превышающих предел упругости s_У. При этом, в реальных конструкциях могут возникнуть пластические деформации, не приводящие к потере работоспособности (например, сваи портовых причалов). Тогда формула Эйлера неприменима и величина критического напряжения определяется по эмпирическим формулам, составленным русским ученым Ф.С. Ясинским на основе опытов. Наиболее распространенная формула имеет вид:

s_КР = a – b ∙ l (9),

где а и b – постоянные коэффициенты, зависящие от материала. Их значения указаны в таблице 1.

Таблица 1. Значения коэффициентов a и b, а также гибкости l₀ и l_пред

для различных материалов

Было замечено, что напряжения s_КР, вычисленные по формуле (9), при некотором значении гибкости l = l₀, почти не отличаются от значений напряжений, подсчитанных при простом сжатии. Таким образом, в зависимости от гибкости, сжатые стержни условно делят на три категории:

а) стержни малой гибкости (l < l₀), рассчитываемые на простое сжатие;

б) стержни средней гибкости (l₀ £ l < l_пред), рассчитываемые на устойчивость по формуле Ясинского;

в) стержни большой гибкости (l ³ l_пред), для которых расчет ведется по формуле Эйлера.

Все эти категории можно изобразить графически (рис. 3).

Прямая Ясинского Гипербола Эйлера

Простое

сжатие

Стержни Стержни

малой средней Стержни

гибкости гибкости большой

гибкости

Рис. 3

Критическая сила при рассчитанном критическом напряжении определяется:

а) для простого сжатия F_КР = s_КР × А (10)

б) для стержней средней гибкости F_КР = (a – b ∙ l) ∙ А (11)

в) для стержней большой гибкости F_КР = (12)

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАСЧЕТА

Пусть дан стержень прямоугольного сечения, изготовленный из стали Ст3, закрепленный концами на шарнирно-подвижной и шарнирно-неподвижной опорах (рис. 4). Определить критическую силу F_КР.

y

ℓ = 1000 мм

b = 3 мм

x h = 60 мм

ℓ

h

b

Рис. 4

Р Е Ш Е Н И Е

1. При такой схеме закрепления концов стержня коэффициент приведения длины m = 1,0.

2. Геометрические характеристики сечения стержня.

а). Площадь поперечного сечения: A = b ∙ h A = 3 ∙ 60 = 180 мм²

б). Минимальный момент инерции сечения: J_min = J_y = мм⁴

в). Минимальный радиус инерции сечения: i_min = мм

3. Гибкость стержня:

Полученное значение l = 745 больше предельного значения для стали Ст3, равного l_пред = 100. Значит, дальнейший расчет ведется по формуле Эйлера.

4. Расчетное значение критической силы:

F_КР = Н

Следовательно, потеря устойчивости стального стержня произойдет, если продольная сила будет немного больше 640 Н.

ЗАДАНИЕ

При подготовке к лабораторной работе студент должен:

– иметь представление об устойчивых и неустойчивых формах равновесия, критической силе, гибкости стержня при продольном изгибе;

– знать условие устойчивости центрально сжатых стержней, формулу Эйлера, формулу Ясинского для расчета критического напряжения;

– уметь выполнять расчеты на устойчивость центрально сжатых стержней;

– уметь правильно собрать установку для испытаний образца;

– уметь правильно нагрузить образец и снять показания;

– ответить на контрольные вопросы;

– правильно оформить отчет по лабораторной работе.

РАБОТА В ЛАБОРАТОРИИ

При расчетах на устойчивость центрально сжатых стержней нужно знать модули упругости материала стержня (табл. 2).

Таблица 2. Значения модулей упругости Е материалов

Порядок проведения работы

1. Приготовить стальной образец прямоугольного поперечного сечения, измерить его длину ℓ и размеры сечения b и h.

2. Определить геометрические характеристики поперечного сечения образца:

а) площадь А = b ∙ h;

б) минимальный осевой момент инерции

в) минимальный радиус инерции

3. В зависимости от способа закрепления концов стержня, определить коэффициент приведения длины m

4. Определить гибкость l стержня по формуле: l =

5. По полученной гибкости рассчитать критическую силу F^Р_Кр по одной из формул: (10), (11) или (12).

6. Приготовить первый тип захватов (рис. 4) и установить в них образец.

F<F_кр F = F_кр

а) б)

Рис. 5 Рис. 6

Первый тип захватов (первый способ закрепления концов стержня): нижний конец закреплен на шарнирно-неподвижной опоре, верхний – на шарнирно-подвижной (рис. 5). Второй тип захватов (второй способ закрепления концов стержня): нижний конец жестко заделан, верхний – на подвижной заделке (рис. 6).

7. Довести силу F до критической F^Э_Кр путем постепенного увеличения числа грузов, приложенных к верхней опоре, и измерить ее значение.

8. Сравнить полученный результат F^Э_Кр с теоретически найденным значением силы F^Р_Кр по формулам (1) или (11).

F^Р_Кр / F^Э_Кр =?

9. Сделать выводы.

10. Повторить пункты 3…9 для других способов закрепления концов стержня (рис. 5).

11. Проделать опыты со стержнем из другого материала – деревянной линейкой.

РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Площадь сечения стального стержня: А_ст = _____ мм²

2. Минимальный осевой момент инерции сечения: J_min = _____ мм⁴

3. Площадь сечения деревянного стержня: А_д = _____ мм²

4. Минимальный осевой момент инерции сечения: J_min = _____ мм⁴

5. Коэффициент приведения длины для обоих стержней при первом способе закрепления концов m₁ =

6. Коэффициент приведения длины для обоих стержней при втором способе закрепления концов m₂ =

7. Гибкость стержней: l^ст₁; l^ст₂ – стального образца при первом и втором способах закрепления концов; l^д₁; l^д₁ – деревянного образца при первом и втором способах закрепления концов.

7. Критическая сила для стального образца при первом способе закрепления концов F^Э_Кр =_____ Н. Теоретически найденное значение критической силы равно F^Р_Кр = ____ Н.

8. При втором способе закрепления концов стального образца критическая сила F^Э_Кр = _____ Н, а теоретически рассчитанная имеет значение F^Р_Кр = ____ Н.

9. Критическая сила для деревянного образца при первом способе закрепления концов составила F^Э_Кр =_____ Н. Теоретически найденное значение критической силы равно F^Р_Кр = ____ Н.

10. При втором способе закрепления концов деревянного образца критическая сила F^Э_Кр = _____ Н, а теоретически рассчитанная имеет значение F^Р_Кр = ____ Н.

ТАБЛИЦА РЕЗУЛЬТАТОВ

Примечание. При первом способе нижний конец стержня закреплен на шарнирно-неподвижной опоре, верхний – на шарнирно-подвижной. При втором способе нижний конец жестко закреплен, верхний – на подвижной заделке.

В Ы В О Д Ы

1. При первом способе закрепления концов стержня значение критической силы в четыре раза меньше, чем при втором.

2. Значение критической силы для стального стержня, при обоих случаях закрепления концов, больше, чем для деревянного.

3. Отношение значений критической силы, полученной теоретически и полученной экспериментально, мало отличаются друг от друга. Значит, работа проведена правильно.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что называется продольным изгибом стержня?

2. Какие стержни следует рассчитывать на устойчивость?

3. Какую силу при расчете на устойчивость называют критической?

4. Как записывается формула Эйлера для расчета критической силы? Укажите величины, в нее входящие и единицы их измерения.

5. Как записывается формула Ясинского?

6. Что такое радиус инерции сечения, чему он равен и в каких единицах измеряется?

7. Что называется гибкостью стержня?

8. От каких параметров стержня зависит предельная гибкость?

9. Гибкости трех стальных стержней соответственно равны: l₁ = 35; l₂ = 80;

l₃ = 150. Какими формулами нужно пользоваться для нахождения критических напряжений в каждом стержне?

9. Каковы пределы применимости формулы Эйлера?

10. В чем заключается расчет центрально сжатого стержня на устойчивость?

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Агамиров Л.В. Сопротивление материалов. Краткий курс. М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.– 256 с.: ил.

2. Анурьев В.И. Справочник конструктора-машиностроителя, том 1. М.: «Машиностроение», 1979. – 728 с.: ил.

3. Бородин Н.А. Сопротивление материалов: Пособие для студентов ссузов. М.: Дрофа, 2001. – 288 с.: ил.

4. Ивченко В.А. Техническая механика: Учебное пособие. – М.: ИНФРА-М, 2003. – 157 с.

5. Ицкович Г.М. Сопротивление материалов. М.; «Высшая школа», 1970. – 488 с.: ил.

6. Олофинская В.П. Техническая механика: Курс лекций с вариантами практических и тестовых заданий: Учебное пособие. – М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2003. – 349 с., ил.

7. Эрдеди А.А., Эрдеди Н.А. Теоретическая механика. Сопротивление материалов: М.: Высш. шк., 2002. – 318 с.: ил.