Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как противостоять манипуляциям мужчин? Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?

Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника







Групповая скорость волн

 

7.1 Волновой пакет

 

Бесконечная гармоническая монохроматическая волна частоты , распространяющаяся в пространстве – это иде-ализация, необходимая для установления основных зако-номерностей. Помимо бесконечности в пространстве гар-моническая волна бесконечна во времени. Однако, беско-нечных волновых процессов в природе не происходит, вол-ны имеют начало и конец, и такие волны уже описываются другой функцией. Любая реальная волна может быть пред-ставлена как суперпозиция монохроматических волн с раз-личными амплитудами и частотами в некотором интер-вале . Поэтому любая волна имеет некоторую степень монохроматичности, ее частота имеет некоторый разброс около основной частоты . Суперпозицию волн, мало отличающихся друг от друга по частотам ( ) называют волновым пакетом или группой волн.(рис. 7.1).

 
 

 

 


В пределах волнового пакета волны усиливают друг друга, вне пакета – практически гасят друг друга.

Кроме того, гармоническая волна информации не пере-дает – ее n-й максимум (или минимум) ничем не отли-чается ни от n+1-го, ни от n–1-го. Для того, чтобы пере-дать информацию с помощью волны, ее надо модули-ровать – то есть изменять амплитуду, частоту или фазу волны. Для передачи сигнала и используется амплитуд-ная, частотная и фазовая модуляция.

Рассмотрим распространение волнового пакета на при-мере амплитудной модуляции.

Пусть в точке x=0 полубесконечной струны находится передатчик, который создает колебания, являющиеся су-перпозицией двух колебаний с разными частотами и :

 

. (7.1)

 

Преобразовав сумму косинусов согласно правилу (4.4), получим:

. (7.2)

 

Полусумма частот образует среднюю частоту коле-баний:

, (7.3)

 

а полуразность – частоту модуляции:

 

. (7.4)

 

Таким образом, колебания (7.2) представляют собой колебания с переменной амплитудой , т.е. ампли-тудно-модулированные колебания, происходящие со сред-ней частотой:

 

. (7.5)

 

 

Амплитуда изменяется с частотой модуляции:

 

. (7.6)

 

Передатчик, создающий амплитудно-модулированые ко-лебания, излучает по струне волну, бегущую в поло-жительном направлении оси X. Эта волна является супер-позицией двух волн с частотами и :

 

. (7.7)

 

Применяя правило (4.4), получим:

 

 

. (7.8)

 

Введя обозначения для среднего волнового числа:

 

, (7.9)

 

и волнового числа модуляции:

 

, (7.10)

 

из (7.8) получим:

 

, (7.11)

 

где

 

. (7.12)

 

Уравнение (7.11) отражает распространение ампли-тудно-модулированного сигнала в виде серии волновых пакетов. На рис. 7.2 показан график такого сигнала в фиксированный момент времени.

 
 

 

 


7.2 Групповая скорость

 

Найдём скорость распространения максимума волново-го пакета, т.е. точки, в которой Aмод=2A. Для этого зафик-сируем фазу волны распространения Aмод, описываемой уравнением (7.12):

 

. (7.13)

 

Продифференцировав (1.13) по времени, получим:

 

, (7.14)

 

откуда получаем:

(7.15)

 

Производная от координаты по времени и есть искомая скорость распространения волнового пакета, называемая групповой скоростью:

 

(7.15)

 

Найдем более выражение для групповой скорости в диспергирующих средах. Пусть для такой среды задано дисперсионное отношение:

 

. (7.16)

 

Тогда, разложив в ряд Тейлора и перенебрегая про-изводными высших порядков, запишем:

 

. (7.17)

 

Учитывая, что , получим, учитывая (7.15), что групповая скорость волнового пакета равна:

 

(7.18)

В уравнении (7.11) есть еще одна составляющая, ко-торая описывает волну, распространяющуюся в положи-тельном направлении оси X. Зафиксировав фазу этой вол-ны:

 

, (7.19)

 

и проведя рассуждения, аналогичные тем, что мы прово-дили при определении групповой скорости, получим вы-ражение для фазовой скорости волны, составляющей вол-новой пакет:

 

(7.20)

 

Подведем итоги. Если есть диспергирующая среда, в ко-торой выполняется дисперсионное соотношение (7.16), то возникает понятие групповой скорости , которая в общем случае отлична от фазовой .

В недиспергирующей среде групповая скорость оказы-вается равной фазовой, но возмущение не образуется, и передать информацию становится невозможным.

 

 




<== предыдущая | следующая ==>
Возлюбить Бога | О гоpении





Date: 2015-07-27; view: 63; Нарушение авторских прав

mydocx.ru - 2015-2017 year. (0.015 sec.) - Пожаловаться на публикацию