Тема 5. Средние величины и показатели вариации

Средняя величина – это обобщающая характеристика совокупности однотипных явлений по изучаемому признаку.

Различают степенные и структурные средние.

Степенные средние объединяются общей формулой (при различных значениях m):

где - среднее значение исследуемого явления;

m - показатель степени средней; х - текущее значение (вариант) осредняемого признака; n - число признаков.

В зависимости от значения показателя степени m различают следующие виды степенных средних:

Значение m	Вид средней величины	Формула расчета
для несгруппированных данных	для сгруппированных данных
m = -1	средняя гармоническая	=	=
m = 0	средняя геометрическая
m = 1	средняя арифметическая	=	=
m = 2	средняя квадратическая
m = 3	средняя кубическая

Средние показатели могут рассчитываться по дискретным и интервальным рядам. В интервальных рядах для расчета средней определяются середины интервалов.

К структурным среднимотносятся мода и медиана.

Мода – наиболее часто встречающаяся варианта. Для дискретных рядов модой будет значение варианты с наибольшей частотой.

Для интервальных рядов с равными интервалами мода определяется по формуле:

M₀ = Xм₀ + iм₀ ^.,

где Хм_о – начальное значение интервала, содержащего моду;

iм₀ – величина модального интервала;

fм₀ – частота модального интервала;

fм_0-1, fм₀₊₁ – частота интервала, предшествующего модальному, следующего за модальным, соответственно.

Медиана – варианта, расположенная в середине вариационного ряда.

Если ряд дискретный и имеет нечетное число членов, то медианой будет варианта, находящаяся в середине упорядоченного ряда. Если ряд имеет четное число членов, то медианой будет средняя арифметическая из двух вариант, расположенных в середине ряда.

Медиана интервального ряда определяется по формуле:

М_е = Хм_е + iм_е ^.,

где Хм_е – начальное значение интервала, содержащего медиану;

iм_е – величина медианного интервала;

Σf – сумма частот ряда;

Sм_е-1 – сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

fм_е – частота медианного интервала.

Для оценки уровня вариации признака в совокупности используются следующие показатели вариации:

Вид показателя вариации	Формула расчета
для несгруппированных данных	для сгруппированных данных
Размах вариации	R = Xmax – Xmin
Среднее линейное отклонение	d =	d =
Дисперсия	σ2 =	σ2 = σ2 = -
Среднее квадратическое отклонение
Коэффициент вариации

Решение типовых примеров

Пример 1

Результаты обследования показали следующее распределение работников торговли по стажу, представленное в табл.1.

Таблица 1 - Распределение работников торговли по стажу работы

На основании этих данных исчислить:

1) средний стаж работников торговли;

2) дисперсию и среднее квадратическое отклонение;

3) коэффициент вариации;

Средний стаж работников торговли для открытого интервального ранжированного ряда определим следующим образом.

1. Определим середину каждого интервала Х. Нижнюю границу первого открытого интервала определим условно, используя величину последующего 2- го интервала.

d = 12 - 6 = 6 лет, тогда по 1 интервалу нижняя граница определяется так: 6 - 6 = 0. Середина первого интервала: (0 + 6): 2 = 3 года; середина второго интервала (6 + 12): 2 = 9 лет и т.д. Верхнюю границу открытого последнего интервала определяем по величине предыдущего интервала d = 24-18 = 6, 24 + 6 = 30 лет.

Середина последнего интервала равна (24 + 30): 2 = 27 лет.

2. Средний стаж работников торговли определим по средней арифметической взвешенной

года.

Расчеты оформим в табл. 2 в 3 и 4 графах.

Таблица 2

Стаж, лет	Число работн., f	х	хf	х -	(х - )2	(х- )2 f
До 6				-10,8	116,64	1749,6
6 - 12				-4,8	23,04	576,0
12 - 18				1,2	1,44	50,4
18 - 24				7,2	51,84	777,6
св. 24				13,2	174,24	1742,4
ИТОГО		-		-	-	4896,0
	å f		å хf

Чтобы исчислить дисперсию по формуле продолжим расчет показателей в табл. 6 графа 5; графа 6; графа 7. Итог графы 7 подставим в формулу для дисперсии:

(лет).

3. Среднее квадратическое отклонение исчислим по формуле:

(лет)

4. Коэффициент вариации показывает отклонение от среднего значения в среднем, выраженное в процентах, и определяется по формуле:

Тесты

1. Средней величиной в статистике называется показатель:

а) стоящий в середине вариационного ряда распределения;

б) характеризующий динамику изучаемого явления;

в) характеризующий типичный уровень явления;

г) отражающий величину варьирующего признака в расчете на единицу совокупности;

д) наиболее часто встречающийся в совокупности;

е) характеризующий многообразие величины признака у отдельных единиц совокупности.

1) а, е; 2) в, г; 3) б, д

2. Правило мажорантности средних определяется как:

а)

б)

в)

где - средняя арифметическая;

- средняя геометрическая;

- средняя гармоническая;

- средняя квадратическая.

1) а; 2) б; 3) в

3. Вариация признака – это:

а) изменение массовых явлений во времени;

б) изменение структуры статистической совокупности в пространстве;

в) изменение значений признака во времени и в пространстве;

г) многообразие величины признака у отдельных единиц совокупности.

1) а; 2) б; 3) в; 4) г.

4. Модой в ряду распределения является:

а) наибольшая частота;

б) наибольшая варианта;

в) варианта, которая чаще других встречается в совокупности;

г) варианта, делящая ряд значений признака на две равные части.

1) а; 2)б; 3) в; 4) г.

5. Медианой в ряду распределения является:

а) наибольшая частота;

б) варианта, которая чаще других встречается в совокупности;

в) наибольшая варианта;

г) варианта, делящая ряд значений признака на две равные части.

1) а; 2)б; 3) в; 4) г.

6. Средняя гармоническая простая рассчитывается по формуле:

а) ; б) ; в) ; г)

1) а; 2) б; 3) в; 4) г

7. Средняя арифметическая простая рассчитывается по формуле:

а) ; б) ; в) ; г)

1) а; 2) б; 3) в; 4) г

8. Средняя гармоническая взвешенная рассчитывается по формуле:

а) ; б) ; в) ; г)

1) а; 2) б; 3) в; 4) г

9. Средняя арифметическая взвешенная рассчитывается по формуле:

а) ; б) ; в) ; г)

1) а; 2) б; 3) в; 4) г

10. Недостающим элементом формулы медианы для интервального ряда является:

М_е = Хм_е + … ^.

1) 0,5fм_е; 2) iм_е ; 3) f; 4) Sм_е+1

11. Недостающим элементом формулы медианы для интервального ряда является:

М_е = … + iм_е^.

1) 0,5fм_е; 2) Хм_е ; 3) f; 4) Sм_е+1

12. Недостающим элементом формулы моды для интервального ряда является:

M₀ = … + iм₀ ^.

1) 0,5fм_о; 2) Σf; 3) Хм_о 4) Sм_о+1

13. Недостающим элементом формулы моды для интервального ряда является:

M₀ = Хм_о+ … ^.

1) 0,5fм_о; 2) Σf; 3) iм₀ ; 4) Sм_о+1

14. Размах вариации рассчитывается по формуле:

а) ; б) ; в) ; г)

1) а; 2) б; 3) в; 4) г

15. Формулы для расчета среднего линейного отклонения:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д)

1) а, д; 2) б, в; 3) а,г;

16. Дисперсия рассчитывается по формуле:

а) ; б) ; в) ; г)

д)

1) а, д; 2) б, в; 3) а, г;

17. Согласны ли Вы с утверждением, что если все варианты осредняемого признака уменьшить или уве­личить на число А, то средняя арифметическая не изменится

1) да; 2) нет

18. Согласны ли Вы с утверждением, что если веса всех осредняемых вариантов уменьшить или увеличить в k раз, то средняя арифметическая не изменится.

1) да; 2) нет

19. Согласны ли Вы с утверждением, что если все индивидуальные значения признака (т.е. все варианты) уменьшить или увеличить в i раз, то среднее значение нового признака не изменится

20. Если все индивидуальные значения признака уменьшить на 20 единиц, то средняя:

а) уменьшится на 20;

б) уменьшится в 20 раз;

в) не изменится;

г) изменение средней предсказать нельзя.

1) а; 2)б; 3) в; 4) г.

21. Если все индивидуальные значения признака увеличить в 10 раз, то средняя:

а) увеличится на 10;

б) увеличится в 10 раз;

в) не изменится;

г) изменение средней предсказать нельзя.

1) а; 2) б; 3) в; 4) г.

22. Если все индивидуальные значения признака уменьшить в 6 раз, а частоты увеличить в 2 раза, то средняя величина:

а) увеличится в 2 раза;

б) уменьшится в 3 раза;

в) уменьшится в 6 раз;

г) изменение средней предсказать невозможно.

1) а; 2) б; 3) в; 4) г.

23. Если все индивидуальные значения признака уменьшить в 8 раз, а частоты увеличить в 2 раза, то средняя величина:

а) увеличится в 2 раза;

б) уменьшится в 4 раза;

в) уменьшится в 8 раз;

г) изменение средней предсказать невозможно.

1) а; 2) б; 3) в; 4) г.

24. Средняя величина признака равна 20, а коэффициент вариации - 25%.

Дисперсия признака равна:

1) 25; 2) 5; 3) 50.

25. Коэффициент вариации равен 50%, дисперсия признака -36. Средняя величина признака равна:

1) 72; 2) 12; 3) 72