Нахождение опорного решения методом северо-западного угла

Исходные данные занесем в упрощенную таблицу

В первом столбце указаны мощности поставщиков, в первой строке – спрос потребителей. Числа в левом верхнем углу клетки – это стоимость перевозок единицы груза от соответствующего поставщика к соответствующему потребителю, т.е. значения из данной в условии матрицы.

План перевозок будет задан, если мы укажем, сколько единиц груза должен получить каждый потребитель от каждого поставщика, т.е. если пустая таблица из трех строк и четырех столбцов будет заполнена.

Северо-западный угол таблицы – это её левый верхний угол, т.е. клетка в 1-й строке и 1-м столбце – клетка (1,1). Поэтому рассмотрим 1-го поставщика и 1-го потребителя. У поставщика А1 есть 30 единиц груза, а потребителю В1 нужно 70 единиц. Находим минимум из этих двух чисел: min (30,70) = 30. Клетка (1,1) перечеркивается по диагонали сплошной чертой (), по центру пишется найденный минимум 30. Это означает, что А1 должен поставить потребителю В1 30 единиц груза. Такие клетки в дальнейшем будем называть отмеченными.

Так как поставщик А1 израсходовал все свои 30 единиц груза, то мы исключаем его из рассмотрения. Поэтому все остальные клетки 1-й строки перечеркиваем по диагонали. Такие клетки в дальнейшем будем называть пустыми.

После первого шага наша таблица имеет следующий вид:

Первая строка в дальнейшем не рассматривается.

Северо-западный угол этой таблицы – это клетка (2,1). Поэтому рассмотрим 2-го поставщика и 1-го потребителя. Мощность поставщика А2 равна 190 единиц. Спрос потребителя В1 – 70 единиц груза. Но 30 единиц груза он получил от поставщика А1 (об этом говорит отмеченная клетка (1,1)). Поэтому непокрытый спрос потребителя В1 равен 70–30=40. Находим минимум min (190,70-30)=40. Клетка (2,1) становится отмеченной. Мы запишем там этот минимум 40.

Поставщик А1(30 единиц) и А2 (40 единиц) полностью покрывают спрос потребителя В1 (70 единиц). Поэтому остальные клетки 1-го столбца объявим пустыми и в дальнейшем исключим из рассмотрения.

После второго шага таблица имеет следующий вид:

Северо-западный угол этой таблицы – это клетка (2,2). min (190-40,120)=120.

Получаем следующую таблицу:

Северо-западный угол этой таблицы – это клетка (2,3). min (190-40-120,150)=30. Получаем следующую таблицу:

Северо-западный угол этой таблицы – это клетка (3,3). min (250, 150-30)=120. Получаем следующую таблицу:

Осталась одна незаполненная клетка – это клетка (3,4). min (250-120,130)=130. Получаем следующую таблицу:

После выполнения очередного шага мы исключали из рассмотрения либо строку, либо столбец. Только на последнем шаге отпали и строка, и столбец. Поэтому для полностью заполненной таблицы должно соблюдаться следующее отношение: число отмеченных клеток = число строк +число столбцов – 1. В нашем случае это так: 6=3 + 4 – 1.

Посчитаем суммарные затраты. Для этого нужно в каждой отмеченной клетке перемножить ее числа и результаты сложить: 4*30+3*40+1*120+2*30+3*120+7*130=1690.