Исследование предельной эффективности с помощью симплекс-метода

Как ранее указывалось прямая и двойственная задачи являются «взаимодвойственными». Следствием этого является то, что решая прямую задачу симплекс-методом мы параллельно получаем решение двойственной задачи.

В п. 3.6.4 двойственная задача решена графически и получено следующее оптимальное решение:

u₁=16,36 руб; u₂=7,27 руб; u₃=u₄=0

Z(u)_min=9200 руб.

Теперь обратим внимание на строку целевой функции на последнем шаге симплексной таблице (см.симплексную таблицу).

Именно здесь и находится решение двойственной задачи.

Симплекс-метод также позволяет определить как нижнюю и верхнюю границу изменения ресурсов при неизменности «теневой цены», так и изменение структуры производственного процесса (т.е. как изменяется выпуск изделий и расходов ресурсов при изменение величины ресурсов и как при этом изменяется значение целевой функции).

Предельные значения (нижняя и верхняя границы) изменения каждого из ресурсов, для которых предельная эффективность остается неизменной, определяются как:

∆b^-_i= max - ≤ ∆ b_i≤ min - = ∆ b_i⁺

a_ij>0 a_ij<0

где ∆ b_i – величина изменения i-го ресурса;

∆ b_i ^- - величина уменьшения i-го ресурса;

∆ b_i⁺ - величина увеличения i-го ресурса;

X_j⁰ – значение j-ой переменной в оптимальном плане;

a_ij - коэффициенты, структурных сдвигов для соответствующего вида ресурсов (коэффициенты столбцов базисных переменных в оптимальном плане, коэффициенты обратной матрицы к базису оптимального плана).

Проведем анализ устойчивости предельной эффективности ресурса «молоко», т.е. определим границы изменения этого ресурса, при которых предельная эффективность в 16,36 руб. остается постоянной.

Для удобства вычислений запишем рядом столбец коэффициентов структурных сдвигов по молоку и столбец оптимального решения

-0,9 300

-2,727 87,5

1,818 312,5

0,909 50

Тогда max в₁≤min

-55 ≤△в₁≤32, 1

Таким образом, ресурс «молоко» может быть уменьшен на 55 кг или увеличен на 32,1 кг. Диапазон изменения равен [ 400-55; 400+32,1]=[345; 432,1]. Верхняя граница полностью совпадает с ранее найденной.

Составим субоптимальный вариант плана с учетом изменения исходных данных.

Пусть предприятие нашло возможность увеличить запас молока на 10 кг.

Базисные переменные	Оптимальное решение	Коэффициенты структурных сдвигов (ас)	Произведение ac =10	Расчет варианта плана
X2 X5 X1 X6	87,5 312,5	-0,9 -2,727 1,818 0,909	-9 -27,27 18,18 9,09	60,23 330,68 59,09
F (X)		u1=16,36	163,6	9363,6

 

В результате производство сливочного мороженого возросло, шоколадного - снизилось, спрос на сливочное и шоколадное мороженое тоже изменился.

Таким образом, анализ устойчивости предельной эффективности позволяет построить множество вариантов оптимальных планов с учетом изменения исходных условий задачи.

Варианты КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Предприятие осваивает выпуск 2-х новых изделий. Расходы по заработной плате, амортизационным отчислениям, материалам, лимиты, выделенные предприятию и прибыль на одно изделие приведены ниже. Решить задачу на максимум прибыли геометрически и аналитически, проанализировать полученные результаты.