Расчет функции предельной эффективности ресурсов (теневых цен), поступающих на данное предприятие

Как правило, наряду с проблемой расчета оптимальной производственной программы при заданных на плановой период ограниченных ресурсах рассматривается проблема оптимального расширения существующего производства за счет дополнительного привлечения ресурсов к уже имеющимся объемам. Для выбора оптимальной стратегии расширения производства нужно знать, какой прирост достигнутого максимума выручки следует ожидать от дополнительного привлечения единицы того или иного ресурса при сохранении других ресурсов в прежнем объеме. Эту проблему рассмотрим на примере составленной и решенной графически в модели расчета оптимальной производственной программы.

При сохранении лимитов по другим ресурсам исследуем зависимость максимума выручки от изменения лимита молока в диапазоне от нуля до бесконечности. Это значит, что при графическом анализе прямые линии, соответствующие наполнителю и спросу будут оставаться на своих местах, а прямая линия, соответствующая ограничению по молоку будет изменять свое положение от нуля до бесконечности (см.рис.3.13).

Рис. 3.13.

Предположим, что предприятие имеет запас молока в 75 кг, вместо заданного в исходных данных 400 кг, т.е. первое ограничение исходной задачи будет выглядеть как 0,8x₁ + 0,5x₂≤75 тогда область допустимых решений задачи будет представлена треугольником, образованным этой прямой и осями координат. Для определения оптимального решения на таком треугольнике можно либо использовать градиент целевой функции. Оптимальное решение в данном случае (рис 3.13) будет точка G с координатами x₁ =0; x₂=150.

Решение двойственной задачи для данной ситуации найдем по составленным выше условиям «дополняющей не жесткости». Из группы условий (3.11), так как 350-x₂=350-150=200>0; 100-0+150=250>0 и 365-0,4×0-0,8×150=245>0, следует, что наполнитель и спрос не лимитируют производственную программу (пассивные ограничения), т.е. находится в избытке, а значит u₂₌u₃₌u₄=0

Из группы условий (3.12) следует, что, если второй продукт выпускается по оптимальной производственной программе, т.е. x₂=150 то должно выполняться равенство

0,5u₁+0,8u₂-u₃+u₄-14=0

Из последнего уравнения с учетом u₂ =u₃=u₄=0 получим u₁=28

При повышении лимита потребления молока треугольник, отражающей ОДР, будет увеличиваться (см.рис.3.14).

Рис.3.14

При этом соответствующие оптимальные программы будут находиться на оси ординат, а вышеприведенные расчеты предельной эффективности сырья будут приводить к результату u₁=28. Такая ситуация будет качественно сохраняться до тех пор, пока оптимальная программа не совпадает с точкой А. Программу А, наряду с ограничением по молоку начнет лимитировать ограничение по спросу на шоколадное мороженое. Поэтому расход молока на программу A(0,350) покажет правую границу диапазона устойчивости предельной эффективности u₁=28. Каждый следующий за этой границей килограмм сырья будет расходоваться с меньшей предельной эффективностью.

Для расчета расхода сырья на программу (А) подставим ее координаты в левую часть ограничения по молоку, а именно:

0,8×0+0,5×350=175

Результаты последних расчетов показали, что каждый дополнительный килограмм сырья в диапазоне от 1 до 175 будет давать прирост максимума дохода 28 руб.

Для ответа на вопрос, будет ли прирастать максимум выручки при увеличении запаса молока сверх 175, нужно сравнить значения выручки для программы (А) и программы (В) (рис.3.15)

Прежде всего, найдем координаты точки (В), решив систему уравнений прямых, соответствующих молоку и спросу на шоколадное мороженое.

Координаты точки В: х₁=212,5; х₂=350

Рис.3.15

Значение дохода в точке B будет равно 16×215,5+14×350= 8 300 руб.

Значение дохода в точке A равно: 16×0+14×350=4900 руб.

Очевидно, что F(B)>F(A). Это означает дальнейший рост максимума выручки от 4300 руб. до 8300 руб. ОДР будет представлена пятиугольником, образованным осями координат, ограничения по спросу и меняющимся ограничением по молоку.

Оптимальные программы будут находиться на отрезке AB. Характеризует эти программы тот очевидный факт, что по ним выпускается два продукта x₁>0, x₂>0 ограничения по наполнителю и спросу на сливочное мороженое не являются лимитирующим ресурсом для этих программ.

Отсюда из первой группы условий (3.11) следует, что u₂=u₃=0

Из группы условий (3.12) следует, что если оба продукта выпускаются, должны выполняться равенства

0,8u₁+0,4u₂+u₃-16=0

0,5u₁+0,8u₂-u₃-14=0

Из этих двух уравнений с учетом u₂=u₃=0 перейдём к решению следующей системы:

0,8u1=16

0,5u₁+u₄=14 откуда u₁=20

Для того чтобы получить правую границу диапазона устойчивости вычисленной предельной эффективности u₁=20, необходимо рассчитать расход молока для программы B

0,8×212,5+0,5×350=345 кг

Результаты текущих расчетов показали, что каждый дополнительный килограмм молока в диапазоне от 176 до 345 кг будет давать прирост дохода на 20 руб.

Для ответа на вопрос, будет ли расти максимум дохода при увеличении запаса молока свыше 345 кг обратимся к рис.3.16

Рис. 3.16.

Из него следует, что ограничение по молоку можно двигать вправо по направлению вектора-градиента до точки М, при этом выручка все время будет расти, достигая максимума в точке М, т.е ограничения по молоку и наполнителю будет оставаться дефицитными, а ограничения по спросу- не дефицитными. Согласно условиям «дополняющей не жесткости» получаем систему уравнения (u₃=u₄=0);

0,8u₁+0,4u₂-16=0

0,5 u₁+0,8u₂-14=0

Эту систему мы уже решали и получили u₁=16,36 при расходе молока в точке М равным 432,1 кг М [(370,83;270,3)и 0,8×370,83+0,5×270,3=432,1]

То есть каждый дополнительный кг. молока в диапазоне 345-432,1 кг будет зависеть прирост дохода на 16,36 руб.

Если запас молока увеличить сверх 432,1 кг., то этот ресурс становится недефицитным и его предельная эффективность становится нулевой (u₁=0) в диапазоне (432,1; ∞). Сведем все данные в табл. и изобразим графически

Используя информацию из этих таблиц, построим график этих функций.(рис.3.17)

Рис.3.17. Изменения предельной эффективности ресурса «молоко».

Рис.3.18. Изменения максимума дохода в зависимости от наличия молока.

Вид графика на рисунке еще раз демонстрирует известный закон убывания эффективности ресурса с ростом объемов производственного потребления. Ступенчатость графика и наличие точек разрыва функции эффективности объясняется тем, что исследование проводилось на основе линейного моделирования, в общем – то, нелинейных экономических связей.