Случайные функции

o Случайной функцией называется функция X(t), значение которой при любом значении аргумента t является случайной величиной.

Другими словами, случайной функцией называется функция, которая в результате опыта может принять тот или иной конкретный вид, при этом заранее не известно, какой именно.

o Конкретный вид, принимаемый случайной величиной в результате опыта, называется реализацией случайной функции.

Т.к. на практике аргумент t чаще всего является временным, то случайную функцию иначе называют случайным процессом.

На рисунке изображено несколько реализаций некоторого случайного процесса.

Если зафиксировать значение аргумента t, то случайная функция X(t) превратится в случайную величину, которую называют сечением случайной функции, соответствующим моменту времени t. Будем считать распределение сечения непрерывным. Тогда Х(t) при данном t определяется плотностью распределения p(x; t).

Очевидно, p(x; t) не является исчерпывающей характеристикой случайной функции X(t), поскольку она не выражает зависимости между сечениями X(t) в разные моменты времени t. Более полную характеристику дает функция —совместная плотность распределения системы случайных величин , где t₁ и t₂—произвольные значения аргумента t случайной функции. Еще более полную характеристику случайной функции X(t) даст совместимая плотность распределения системы трех случайных величин и т.д.

o Говорят, что случайный процесс имеет порядок n, если он полностью определяется плотностью совместимого распределения n произвольных сечений процесса, т.е. системы n случайных величин , где X(t_i)—сечение процесса, отвечающее моменту времени t_i, но не определяется заданием совместного распределения меньшего, чем n, числа сечений.

o Если плотность совместного распределения произвольных двух сечений процесса вполне его определяет, то такой процесс называется марковским.

Пусть имеется случайная функция X(t). Возникает задача описания ее с помощью одной или нескольких неслучайных характеристик. В качестве первой из них естественно взять функцию —математическое ожидание случайного процесса. В качестве второй берется среднее квадратическое отклонение случайного процесса .

Эти характеристики являются некоторыми функциями от t. Первая из них—это средняя траектория для всех возможных реализаций. Вторая характеризует возможный разброс реализаций случайной функции около средней траектории. Но и этих характеристик недостаточно. Важно знать зависимость величин X(t₁) и X(t₂). Эту зависимость можно характеризовать с помощью корреляционной функции или корреляционного момента.

. (1)

Пусть имеются два случайных процесса, по нескольку реализаций которых изображено на рисунках.

У этих случайных процессов примерно одинаковые математические ожидания и средние квадратичные отклонения. Тем не менее это различные процессы. Всякая реализация для случайной функции X₁(t) медленно меняет свои значения с изменением t, чего нельзя сказать о случайной функции X₂(t). У первого процесса зависимость между сечениями X₁(t) и будет больше, чем зависимость для сечений X₂(t) и второго процесса, т.е. убывает медленнее, чем , при увеличении Δt. Во втором случае процесс быстрее «забывает» свое прошлое.

Остановимся на свойствах корреляционной функции, которые вытекают из свойств корреляционного момента пары случайных величин.

Свойство 1. Свойство симметричности .

Свойство 2. Если к случайной функции X(t) прибавить неслучайное слагаемое , то от этого корреляционная функция не изменится, т.е. .

Действительно,

Свойство 3. , где —неслучайная функция.

При

o Центрированной случацной функцией , соответствующей X(t), называется (2)

Очевидно, математическое ожидание центрированной функции—тождественный нуль, среднее квадратичное отклонение и корреляционная функция такие же, как и у X(t).

o Нормированной называется случайная функция

(3),

, .

Для этой функции , , —коэффициент линейной корреляции между X(t₁) и X(t₂).