Теорема 3. (Закон больших чисел в форме Бернулли)

Пусть μ—число успехов в n независимых испытаниях Бернулли с вероятностью успеха р в одном испытании, тогда .

Введем случайные величины μ_i—число успехов в i-ом испытании. Тогда .

, (т.к. ).

(т.е. дисперсия ограничена ).

μ₁, μ₂,…, μ_n—независимы. По закону больших чисел в форме Чебышёва .

.

.

В чем смысл закона больших чисел в форме Бернулли?

Пусть в результате эксперимента может произойти или не произойти событие А. P(A)—вероятность события А в одном эксперименте. Эксперимент повторяется N раз, N(A)—число появлений события А в этих N экспериментах.

—относительная частота появления события А.

. N(A)=μ, .

Таким образом, закон больших чисел в форме Бернулли теоретически подтверждает устойчивость относительных частот, т.е. стабилизацию при большом числе испытаний относительной частоты вокруг вероятности (относительная частота ≈Р(А)).