Характеристические функции

0. 1 Случайная величина , где i—мнимая единица, т.е. ,а X и Y—действительные случайные величины, называется комплекснозначной случайной величиной. (i²= –1).

0. 2 Математическим ожиданием комплекснозначной случайной величины Z называется . Все свойства математического ожидания остаются справедливыми для комплекснозначных случайных величин.

0. 3 Комплекснозначные случайные величины Z₁=X₁+iY₁ и Z₂=X₂+iY₂ называются независимыми, если независимы соответственно .

Свойство комплекснозначных случайных величин.

Если комлекснозначные случайные величины Z₁ и Z₂—независимы, то математическое ожидание их произведения равно произведению математических ожиданий, т.е. .

.

0. 4 Характеристической функцией случайной величины называется функция , где .

Формулы для вычисления характеристической функции.

Случай 1. Пусть —дискретная случайная величина с рядом распределения

	x1	x2	…
Р	p1	p2	…

.

Случай 2. Пусть —целочисленная случайная величина с плотностью . Тогда характеристическая функция .

Пример 1. Пусть —целочисленная случайная величина с производящей функцией . Тогда характеристическая функция случайной величины —производящая функция от аргумента .

Пример 2. Пусть случайная величина имеет биномиальное распределение с параметрами (n,p), т.е. . Найти характеристическую функцию . , m=0,1,2…,n.

.

.

Если t=0, то .

Из примера 1, § 12 найдена производящая функция случайной величины ,

, если .

Пример 3. Пусть случайная величина имеет пуассоновское распределение с параметром λ, т.е. . Найти характеристическую и производящую функции.

, m=0,1,2,…

Если

. t=0, .

Производящая функция .

Таблица 1. Производящие функции.

Название распределения	Формула для	Производящая функция
Геометрическое	, k=0,1,2,… pqk
Биномиальное	, k=0,1,2…,n.
Пуассоновское	, k=0,1,…

Таблица 2. Характеристические функции.

Название распределения	Формула для или плотности	Характеристическая функция
Биномиальное	, k=0,1,2…
Пуассоновское	, k=0,1,2,..
Равномерное	,
Равномерное	,
Показательное	,
Нормальное распределение