Свойства плотности распределения случайного вектора

Свойство 1.

Свойство 2. .

.

Теорема 1. Пусть —непрерывный случайный вектор. Тогда случайные величины и —непрерывны, причем , .

Свойство 3. , где —множество из пространства IRⁿ.

o Говорят, что случайный вектор имеет равномерное распределение в области , если она непрерывна и имеет плотность.

Если множество

.

o Если каждому возможному значению случайной величины Х соответствует одно возможное значение случайной величины Y, то Y называют функцией случайного аргумента Х.

Теорема 2. Пусть случайная величина Х непрерывна с плотностью , а случайная величина , где —монотонная дифференцируемая функция, тогда случайная величина Y—непрерывная и имеет плотность .

а) Пусть функция возрастает. По определению

.

Продифференцируем обе части. Справа получим: , слева— , что и требовалось .

б) Пусть убывает.

.

Продифференцировав обе части, .

Покажем, как найти распределение функции случайного аргумента. Пусть аргумент Х—дискретная случайная величина

А) Если различным возможным значениям аргумента функции Y, то вероятность соответствующих значений X и Y между собой равны.

Пример 1. Дискретная случайная величина Х задана распределением

Найти распределение функции .

Решение. Найдем возможные значения Х:

, . Искомое распределение Y:

Б) Если различным возможным значениям Х соответствуют значения Y, среди которых есть равные между собой, то следует складывать вероятности повторяющихся значений Y.

Пример 2. Дискретная случайная величина Х задана распределением

Найти распределение функции .

, .

Вероятность возможного значения y₁=4 равна сумме вероятностей несовместимых событий Х₁=-2, Х₂=2, т.е. 0,4+0,5=0,9. Вероятность возможного значения y₂=9 равна 0,1. Напишем искомое распределение Х.

Пусть задана функция случайного аргумента Х. Требуется найти математическое ожидание этой функции, зная закон распределения аргумента.

1. Пусть аргумент Х—дискретная случайная величина с рядом распределения

.

Пример 3. Дискретная случайная величина Х задана распределением

Найти математическое ожидание функции .

Возможные значения Y:

; ; .

.

2. Пусть аргумент Х—непрерывная случайная величина, заданная плотностью распределения р(х). Для нахождения математического ожидания функции можно сначала найти плотность распределения g(y) величины Y, а затем воспользоваться формулой: .

Если возможны значения , то .

Пример 4. Случайная величина Х задана плотностью в интервале (0, π/2); вне этого интервала р(х)=0. Найти математическое ожидание функции .

, , , ; Следовательно,

.