Свойства дисперсии

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины С равна 0.DC=0.

.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

.

.

Свойство 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

.

Следствие. Дисперсия суммы нескольких независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Теорема 2. Дисперсия числа появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятность появления и непоявления события в одном испытании: .

Случайная величина Х—число появлений события А в n независимых испытаниях. , где Х_i—число наступлений событий в i-ом испытании, взаимно независимые, т.к. исход каждого испытания не зависит от исходов остальных.

.

. Т.к. MX₁=p. , то . Очевидно, что дисперсия остальных случайных величин также равна pq, откуда .

Пример. Проводятся 10 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна 0,6. Найти дисперсию случайной величины X—числа появлений события в этих испытаниях.

n=10; p=0,6; q=0,4.

.

o Начальным моментом порядка к случайным величинам Х называют математическое ожидание случайной величины Х^k:

. В частности, , .

Пользуясь этими моментами, формулу для вычисления дисперсии можно записать так: .

Кроме моментов случайной величины Х целесообразно рассматривать моменты отклонения Х-ХМ.

o Центральным моментом порядка k случайной величины Х называют математическое ожидание величины (Х-МХ)^k.

. В частности

, . Следовательно, .

Исходя из определения центрального момента и пользуясь свойствами математического ожидания, можно получить формулы:

.

.

Моменты более высоких порядков применяются редко.

Замечание. Моменты, определенные выше, называют теоретическими. В отличие от теоретических моментов, моменты, которые вычисляются по данным наблюдений, называют эмпирическими.