II. Вычисление оценок математического ожидания и дисперсии

Оценки математического ожидания и дисперсии вычисляются по формулам

, , (1)

где — частота варианты в выборке объема .

Если объем выработки велик, то вычисление точечных оценок математического ожидания и дисперсии по формулам (1) громоздко. Для сокращения вычислений элементам выборки, попавшим в –тый интервал, припишем значения равные серединам интервалов

.

4,31 4,40

4,46 4,52

4,58 x₆ =4,64

x₇ =4,70

Вносим значения в пятый столбец таблицы 1.

Для упрощения дальнейших выкладок варианты заменяем на условные варианты по формуле

,

где называется ложным нулем (новым началом отсчета). Ложный ноль находим по следующему правилу:

Если число интервалов нечетное, то в качестве ложного нуля берем середину среднего интервала, если четное, то середину того интервала, у которого больше частота .

При этом варианте, которая принята в качестве ложного нуля, соответствует условная варианта, равная нулю.

4,52

-3,00 -2,00

-1,00 0,00

1,00 y₆ = 2,00

y₇ = 3,00

Значения вносим в таблицу 1.

Подсчитаем произведения , результаты внесем в таблицу 1.

Суммируя седьмой столбец таблицы 1, вычислим значение

= 0,086

Оценим математическое ожидание по формуле

.

4,53

Подсчитаем произведения , результаты внесем в таблицу 1.

Суммируя восьмой столбец таблицы 1, вычислим значение

= 2,09

Оценим дисперсию по формуле

0,00748

.

Оценка занижает дисперсию генеральной совокупности, поэтому введя поправочный коэффициент

получим несмещенную оценку дисперсии

0,00759.

Вычислим оценку среднего квадратического отклонения

0,0871.

Для сравнения подсчитаем по «правилу ». Так как для случайной величины, имеющей нормальное распределение, почти все рассеивания укладывается на участке , то с помощью «правила » можно ориентировочно определить оценку среднего квадратического отклонения случайной величины. Берем максимальное практически возможное отклонение от среднего значения и делим его на три.

0,20

0,22

0,0717

Табл. 1

Статистическое распределение выборки
№ Кл.	Границы классов
	4,31 (4,31;4,37) (4,37;4,43) (4,43;4,49) (4,49;4,55) (4,55;4,61) (4,61;4,66) (4,66;4,73)		0,043 0,100 0,186 0,271 0,257 0,086 0,057	4,34 4,40 4,46 4,52 4,58 4,64 4,70	-3,00 -2,00 -1,00 0,00 1,00 2,00 3,00	-0,129 -0,200 -0,186 0,000 0,257 0,171 0,171	0,386 0,400 0,186 0,000 0,257 0,343 0,514	0,714 1,667 3,095 4,524 4,286 1,429 0,952
	∑					h1= =0,086	h2= =2,09