Криволинейный стержень. Кроме стержней с прямой осью в конструкциях часто встречаются элементы, у которых ось, Т. Е

Кроме стержней с прямой осью в конструкциях часто встречаются элементы, у которых ось, т.е. линия, проходящая через центры тяжести поперечных сечений, является кривой. К ним относятся звенья цепей, проушины, крюки, арки, своды и т.п.

Положение точки оси определяется двумя величинами в полярных координатах – углом и радиусом. Декартова система координат, в данном случае подвижна (в каждой точке она своя), ось Z направлена по касательной, ось Y по радиусу, ось Х составляет правую систему координат.

Математическая модель криволинейного стержня состоит из трех дифференциальных уравнений:

Q_у’– N+q_y×R=0

N’ + Q_у + q_z×R=0

M_х’– R×Q_у=0

где Q_y – поперечная сила в сечении;

М_х– изгибающий момент в сечении;

N – продольная сила в сечении;

q_y – интенсивность внешних сил, направленных перпендикулярно оси стержня (по радиусу);

q_z – интенсивность внешних сил, направленных по касательной к оси стержня (перпендикулярно радиусу);

R – радиус кривизны стержня;

Решение данных дифференциальных уравнений имеет вид:

М_х(j)=М_х(0) + Q_y(0)×R×sinj + N(0)×R×(1-cosj) + Ф_м,

Q_y(j)=М_х’/R=Q_y(0)×cosj + N(0)×sinj + Ф_Q,

N(j)=Q_y’= – Q_y(0)×sinj + N(0)×cosj + Ф_N,

где N(0) – продольная сила, действующая в сечении с координатой j=0;

Q_y(0) – поперечная сила, действующая в сечении с координатой j=0;

М_х(0) – изгибающий момент, действующий в сечении с координатой j=0;

j – угол, определяющий положение сечения,

Ф_Q – нагрузочная функция поперечной силы, зависящая от внешних сил, приложенных к стержню;

Ф_М – нагрузочная функция изгибающего момента, зависящая от внешних сил, приложенных к стержню;

Ф_N – нагрузочная функция продольной силы, зависящая от внешних сил, приложенных к стержню.

Значения нагрузочных функций зависят от внешней приложенной нагрузки. Рассмотрим значения нагрузочных функций для наиболее часто встречающихся нагрузок.

а) сосредоточенная продольная сила (рис.17):

при φ£α Ф_Q(φ)=0, Ф_М(φ)=0, Ф_N(φ)=0;

при φ³α Ф_Q(φ)=P×sin(φ-α), Ф_М(φ)=P×R×(1 – cos(φ-α)), Ф_N(φ)=–P×cos(φ-α).

Рис.17

б) сосредоточенная поперечная сила (рис.18):

при φ£β Ф_Q(φ)=0, Ф_М(φ)=0, Ф_N(φ)=0;

при φ³β Ф_Q(φ)=–P×cos(φ-β), Ф_М(φ)=P×R×sin(φ-β), Ф_N(φ)=–P×sin(φ-β).

Рис.18

с) сосредоточенный момент (рис.19):

при z£γ Ф_Q(z)=0, Ф_М(z)=0, Ф_N(z)=0;

при z³γ Ф_Q(z)=0, Ф_М(z)= –L, Ф_N(z)=0.

Рис.19

Для определения момента, поперечных и продольных сил в нулевом сечении используют граничные условия, которые приведены в таблице:

Табл. 4

Левый конец стержня	Правый конец стержня
	N(0)= 0; Qy(0)= 0; Mx(0)=0		N(π/2)=0; Qy(π/2)=0; Mx(π/2)=0
	N(0)= 0; Qy(0)= –P; Mx(0)=0		N(π/2)= –P; Qy(π/2)=0; Mx(π/2)=0
	N(0)= –P; Qy(0)= 0; Mx(0)=0		N(π/2)=0; Qy(π/2)= –P; Mx(π/2)=0
	N(0)= 0; Qy(0)= P; Mx(0)=0		N(π/2)= P; Qy(π/2)=0; Mx(π/2)=0
	N(0)= P; Qy(0)= 0; Mx(0)=0		N(π/2)=0; Qy(π/2)=P; Mx(π/2)=0
	N(0)= –P; Qy(0)= 0; Mx(0)=0		N(π/2)= 0; Qy(π/2)= P; Mx(π/2)=0
	N(0)= 0; Qy(0)= –P; Mx(0)=0		N(π/2)= –P; Qy(π/2)=0; Mx(π/2)=0
	N(0)= P; Qy(0)= 0; Mx(0)=0		N(π/2)= 0; Qy(π/2)= –P; Mx(π/2)=0
	N(0)= 0; Qy(0)= P; Mx(0)=0		N(π/2)= P; Qy(π/2)=0; Mx(π/2)=0
	N(0)= 0; Qy(0)= 0; Mx(0)= –L		N(π/2)= 0; Qy(π/2)= 0; Mx(π/2)= L
	N(0)= 0; Qy(0)= 0; Mx(0)= L		N(π/2)= 0; Qy(π/2)= 0; Mx(π/2)= –L
	Mx(0)=0		Mx(0)=0
	N(0)= –P; Mx(0)=0		Qy(π/2)= P; Mx(π/2)=0
	Qy(0)= –P; Mx(0)=0		N(π/2)= –P; Mx(π/2)=0
	N(0)= P; Mx(0)=0		Qy(π/2)= –P; Mx(π/2)=0
	Qy(0)= P; Mx(0)=0		N(π/2)= P; Mx(π/2)=0
	Mx(0)=–L		Mx(π/2)= L
	Mx(0)=L		Mx(π/2)= –L