Системы с реальным фильтром

Рассмотрим свойства системы с реальным дифференцирующим фильтром на рис. 13.1

Рис. 13.1 Физическая схема системы с реальным дифференцированием (i =0,1,…, n)

В реальной схеме на рис. 13.1 не видно контура локализации. Чтобы увидеть этот контур необходимо в схеме «расщепить» фильтр на параллельные каналы и выделить канал со старшей производной.

Рис. 13.2 Расчетная схема системы с реальным дифференцированием

В расчетной схеме 13.2 имеет место контур локализации. Поскольку этот контур быстрей рабочих процессов в системе, то его можно рассчитывать отдельно от всей системы.

Рис. 13.3 Контур локализации

Контур на рис. 13.3 является линейным с нестационарным коэффициентом b. Его динамика определяется фильтрующим полиномом , коэффициентом k в некоторых случаях переменным коэффициентом b. Синтез (коррекцию) этого контура можно производить обычными линейными методами. Наиболее подходящий для этой цели – модальный метод.

Характеристическое уравнение контура быстрых движений на рис. 13.3 имеет вид

В реальных нелинейных системах расчет сводится к решению трех линейных задач:

1. Подбор линейного эталонного уравнения;

2. Подбор линейного дифференцирующего фильтра;

3. Коррекция линейного контура быстрых движений.

14. ПД – регулятор для нелинейного объекта

14.1 ПД – регулятор

В настоящее время все способы настройки ПД – регулятора предполагают, что объект линейный. Но можно показать, что и для нелинейного объекта первого порядка ПД – регулятор (и тем более ПИД - регулятор) полностью решает задачу подавления возмущений.

Рассмотрим пример и ПД – регулятором.

Имеем нелинейный, нестационарный объект первого порядка:

Необходимо, чтобы замкнутая система соответствовала эталонному характеристическому уравнению

Закон управления: .

Смысл в том, что если , то выражение (14.1) преобразуется следующим образом:

Разделим обе части уравнения (14.2) на bk.

При bk →∞ уравнение (14.3) вырождается в следующее:

Таким образом, из уравнения (14.5) видно, что при большом коэффициенте усиления k ПД – регулятор в обычной системе для нелинейного, нестационарного объекта идеально решает задачу управления. Характеристическое уравнение системы в таком случае

Недостаток:

1) В данной системе ПД – регулятор не может отработать скачкообразное изменение входа, так как для этого потребуется бесконечное управление.

Чтобы исключить этот недостаток, необходимо переставить форсирующее звено в обратную связь. Тогда закон управления будет иметь вид

Преобразуем уравнение (14.1) в соответствии с новым законом управления.

Разделим обе части уравнения (14.6) на bk.

При bk →∞ уравнение (14.7) вырождается в следующее:

Таким образом, из уравнения (14.8) видно, что недостаток устранен, и данная система может отработать ступенчатое изменение выходного сигнала v. При увеличении коэффициента усиления k происходит подавление нелинейностей и нестационарностей. Однако в таком случае увеличивается влияние помех.

14.2 ПИД – регулятор

Рассмотрим полный ПИД – регулятор для нелинейного объекта первого порядка вида (14.1). Разделим ПИД – регулятор на два: регулятор статики и регулятор динамики.

Рис. 14.1 Схема системы с ПИД – регулятором

В схеме на рис. 14.1 – регулятор статики, который устраняет статическую ошибку, k – коэффициент, позволяющий подавить возмущения, – форсирующее звено, с – задаваемая инерционность форсирующего звена.

При достаточно больших значениях коэффициента усиления k параметры k_i и c полностью определяют динамику системы. Обоснуем это высказывание математически.

Закону управления для системы (14.1) имеет вид:

Преобразуем уравнение (14.1) в соответствии с законом управления (14.9).

Разделим обе части уравнения (14.10) на bk.

При bk →∞ уравнение (14.10) вырождается в следующее:

Продифференцируем уравнение (14.11) (то есть умножим всё на р).

Если , разделим уравнение (14.12) на

Получили дифференциальное уравнение второго порядка (14.13). Стандартный вид уравнения для системы второго порядка следующий: .

Тогда для выражения (14.13) имеем систему (14.14), состоящую из двух уравнений я двумя неизвестными:

Пример: Зададим T и d и найдем с и Пусть T= 1 сек, d= 0,5. Тогда , с= 1.