Непрерывность функции комплексной переменной. Свойства непрерывных функций. Примеры

Функция w = f(z), заданная на множестве S, называется непрерывной в точке z₀ S, если

= f (z₀), z S.

Иными словами, функция f (z) непрерывна в точке z₀, если для любого ɛ > 0 можно указать δ = δ(ɛ) > О такое, что для всех точек z S, удовлетворяющих условию |z – z₀| < δ, выполняется неравенство |f(z) - f(z₀)| < ɛ.

Для непрерывности функции комплексного переменного f(z) = u(x, у) + iυ(x, у) в точке z₀ = х₀ + iу₀ необходимо и достаточно, чтобы ее действительная и мнимая части – функции u(x,у) и υ(x,у) - были непрерывны в точке (х₀,y₀) по совокупности переменных х и у.

Это позволяет перенести на функции комплексного переменного основные свойства непрерывных функций двух действительных переменных: непрерывность суммы, произведения и частного двух функций, непрерывность сложной функции.

Если функция f(z) непрерывна в каждой точке множества S, то говорят, что функция f(z) непрерывна на множестве S.

T1. Если в комплексной функции выделить действительную и мнимую часть f(z)=u(x,y)+v(x,y).

f(z) непрерывна в z₀.

z₀=x₀+iy₀

Т2. Если f(z) непрерывна в замкнутой области D, ограничена, то и сама функция f(z) ограничена на D (граница входит).

Доказательство:

Предположим, что функция неограниченна. Найдется |f(z₁)|>1, найдется z₂ для которой |f(z₂)| >2.

{z_n} D.

Так как D ограничена, то {z_nк} z₀.

Тогда = .

W (противоречие).

Тогда наше предположение неверно.

Т3. f(z) на области D.

Действительная область =|f(z)| достигает своего наименьшего и наибольшего значения.