Внимание и еще раз внимание!

Так как , то:


Таким образом:
– действительная часть функции ;
– мнимая часть функции .

Проверим выполнение условий Коши-Римана:

Проверка второго условия:

Получилось одно и то же, но с противоположными знаками, то есть условие также выполнено.

Условия Коши-Римана выполнены, следовательно, функция является дифференцируемой:

Вычислим значение производной в требуемой точке:

Ответ: , , условия Коши-Римана выполнены,

Функции с кубами встречаются часто, поэтому пример для закрепления:

Пример 6

Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана. Вычислить .

Решение и образец чистового оформления в конце урока.

В теории комплексного анализа определены и другие функции комплексного аргумента: экспонента, синус, косинус и т.д. Данные функции обладают необычными и даже причудливыми свойствами – и это действительно интересно! Очень хочется рассказать, но здесь, так уж получилось, не справочник или учебник, а решебник, поэтому я рассмотрю ту же задачу с некоторыми распространенными функциями.

Сначала о так называемых формулах Эйлера: