Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Дифференцирование функций комплексной переменной.Условия Коши-РиманаУ меня есть две новости: хорошая и плохая. Начну с хорошей. Для функции комплексной переменной справедливы правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций. Таким образом, производная берётся точно так же, как и в случае функции действительной переменной . Плохая новость состоит в том, что для многих функций комплексной переменной производной не существует вообще, и приходится выяснять, дифференцируема ли та или иная функция. А «выяснять», как чует ваше сердце, связано с дополнительными заморочками. Рассмотрим функцию комплексной переменной . Для того, чтобы данная функция была дифференцируема необходимо и достаточно: 1) Чтобы существовали частные производные первого порядка . Об этих обозначениях сразу забудьте, поскольку в теории функции комплексного переменного традиционно используется другой вариант записи: . 2) Чтобы выполнялись так называемые условия Коши-Римана: Только в этом случае будет существовать производная! Пример 3 Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана. В случае выполнения условий Коши-Римана, найти производную функции. Решение раскладывается на три последовательных этапа: 1) Найдём действительную и мнимую часть функции. Данное задание было разобрано в предыдущих примерах, поэтому запишу без комментариев: Так как , то: Таким образом: Остановлюсь еще на одном техническом моменте: в каком порядке записывать слагаемые в действительной и мнимой частях? Да, в принципе, без разницы. Например, действительную часть можно записать так: , а мнимую – так: . 3) Проверим выполнение условий Коши Римана. Их два. Начнем с проверки условия . Находим частные производные: Несомненно, приятная новость – частные производные почти всегда очень простые. Проверяем выполнение второго условия : Условия Коши-Римана выполнены, следовательно, функция дифференцируема. 3) Найдём производную функции. Производная тоже очень простая и находится по обычным правилам: Мнимая единица при дифференцировании считается константой. Ответ: – действительная часть, – мнимая часть. Существуют еще два способа нахождения производной, они, конечно, применяются реже, но информация будет полезна для понимания второго урока – Как найти функцию комплексной переменной? Производную можно найти по формуле: В данном случае: Таким образом Предстоит решить обратную задачу – в полученном выражении нужно вычленить . Для того, чтобы это сделать, необходимо в слагаемых и вынести за скобку: Обратное действие, как многие заметили, выполнять несколько труднее, для проверки всегда лучше взять выражение и на черновике либо устно раскрыть обратно скобки, убедившись, что получится именно Зеркальная формула для нахождения производной: Пример 4 Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана. В случае выполнения условий Коши-Римана, найти производную функции. Краткое решение и примерный образец чистового оформления в конце урока. Всегда ли выполняются условия Коши-Римана? Теоретически они чаще не выполняются, чем выполняются. Но в практических примерах я не припомню случая, чтобы они не выполнялись =) Таким образом, если у вас «не сошлись» частные производные, то с очень большой вероятностью можно сказать, что вы где-то допустили ошибку. Усложним наши функции: Пример 5 Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана. Вычислить Решение: Алгоритм решения полностью сохраняется, но в конце добавится новый пунктик: нахождение производной в точке. Для куба нужная формула уже выведена: Определим действительную и мнимую части данной функции:
|