Условия линейного разделения каналов

Чтобы канальные сигналы удовлетворяли условию разделения (6), они должны быть линейно независимыми. Канальные сигналы как функции времени, S₁ (t)=C₁ψ₁(t), S₂ (t)=C₂ψ₂(t), …, S_N(t)=C_Nψ_N(t) будут линейно независимыми, если нельзя подобрать такие числовые коэффициенты C₁, C₂...C_N, не равные нулю, для которых

C₁ψ₁(t) + C ₂ψ₂(t) +...+ C_Nψ_N(t) ≡ 0. (7)

Действительно, коэффициенты C₁, C₂,... С_N характеризуют амплиту­ду первичных сигналов, которую, как допускалось выше, можно счи­тать постоянной на периоде переносчика ψ₁(t). Если канальные C_iψ_i(t) сигналы линейно зависимы, то при некоторых значения коэффи­циентов C_i можно получить S_гр(t)= С₁ψ₁(t) + С₂ψ₂(t)+...+С_Nψ_N(t) = 0. При этом, , т.е. условия разделения (6) не выполня­ется. Тождество (7) возможно лишь при С₁=С₂... С_N = 0.

Следовательно, для получения линейно независимых канальных сигналов необходимо использовать линейно независимые перенос­чики ψ₁(t), так как канальные сигналы представляют собой модули­рованные переносчики.

Можно показать, что к линейно независимым относятся, напри­мер, следующие последовательности функций:

(8)

если A_i и α_i - вещественные числа

Пример:

Для функций вида ψ₁(t) = -1; ψ₂(t) = cos ²ωt; ψ₃(t) = sin ²ωt имеем ψ₁(t) + ψ₂(t) + ψ₃(t) = -1 + cos² ωt + sin²ωt = 0, что означает их линейную зависимость. Линейное разделение функций такого вида невозмож­но, и их, следовательно, нельзя использовать в качестве перенос­чиков для формирования канальных сигналов.

В общем случае критерий линейной независимости функций ψ₁(t)...ψ_N(t), определенных на интервале 0 ≤ t ≤ Т, дается теоремой Грама, которая формулируется следующим образом.

Теорема: для того чтобы функции ψ₁(t), ψ₂(t),..., ψ_N(t) были линейно неза­висимыми, необходимо и достаточно, чтобы был отличен от нуля определитель матрицы ||a _ij ||, элементы которой определены соот­ношением

a = (9)

Таким образом, условие линейной независимости функций ψ_i(t) можно записать в следующей форме:

G (10)

где G [ ] называется определителем Грама.

Из множества функций, удовлетворяющих условию (18), выде­ляется класс ортогональных функций. Функции ψ_i(t) (i= 0, 1,2,.., N) называются ортогональными с весом р (t) на интервале 0...Т, если они удовлетворяют следующим условиям:

(11)

где р (t) - некоторая фиксированная неотрицательная функция, не зависящая от индексов i и j; к_j² - постоянная величина, пропорцио­нальная среднеквадратичному значению или средней мощности j -го сигнала. Для некоторого класса ортогональных функций весовая функция р (t) = 1.

Известно много классов функций, удовлетворяющих условию ор­тогональности.

1) В МСП c временным разделением каналов - ВРК ортогональные функции представляют собой последовательности прямоугольных импульсов, не пересекающихся во времени.

2) В МСП c частотным разделением каналов - ЧРК ортогональные функции представляют собой гармонические колебания с не перекрывающимися частотными спектрами.

3) В МСП c разделение каналов по форме - РКФ канальные сигналы перекрываются по времени и частоте, оставаясь ортогональными за счет их формы. В этих системах используются функций Якоби, Лежандра, Лаггера, Уолша и множества других.

Из всего сказанного следует, что обобщенную структурную схему линейной аддитивной МСП можно представить в следующем виде (рисунок).