Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как противостоять манипуляциям мужчин? Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?

Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Эйлера и методы Рунге-Кутта для решения дифференциальных уравнений





Суть метода Эйлера заключается в переходе от бесконечно малых приращений в уравнении к конечным: (1)

т.е. в замене производной приближенным конечно-разностным отношением:

где h = ∆х - шаг интегрирования.

Отсюда (3)

 

Рассматривая приближенное решение в точке как новые начальные условия, можно по формуле (3) найти значение искомой функции у(х) в следующей точке. В общем случае формула Эйлера имеет вид: (4)

Метод Эйлера может быть интерпретирован геометрически следующим образом: функцию у(х) заменяют ломаной, представляющей собой отрезки касательных к этой функции в узлах (рис. 5.1).

Рис. 5.1. Метод Эйлера

 

Достоинствами метода Эйлера являются его простота и наглядность, недостатками - относительно невысокая точность (он имеет первый порядок точности) и систематическое накопление ошибки. Точность и устойчивость решения в значительной степени зависят от величины шага интегрирования. Для оценки погрешности и выбора шага может быть применена формула Рунге .

 

Методы Рунге-Кутта второго порядка

Методы Рунге-Кутта второго порядка основаны на разложении функции у(х) в ряд Тейлора и учете трех его первых членов (до второй производной включительно).

 

Метод Рунге-Кутта второго порядка с полным шагом реализуется по формуле:

(6.1.)

Его геометрическая интерпретация (рис. 6.1.) заключается в следующем:

1. Приближенно вычисляют значение функции в точке xi+h по формуле Эйлера и наклон интегральной кривой в этой точке

2. Находят средний наклон на шаге h:

3. По этому наклону уточняют значение yi+1 по формуле (6.1.).

Рис. 6.1. Метод Рунге-Кутта второго порядка с полным шагом

 

Формула метода Рунге-Кутта второго порядка с половинным шагомимеет вид

Рисунок 6.3. Метод Рунге-Кутта второго порядка с половинным шагом

Метод Рунге-Кутта четвертого порядка









Date: 2015-07-27; view: 1256; Нарушение авторских прав

mydocx.ru - 2015-2018 year. (0.006 sec.) - Пожаловаться на публикацию