Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Наслідки основної теореми алгебриНаслідок 1. Многочлен n-го степеня має n коренів, де кожен корінь враховується стільки разів, скільки його кратність. Доведення. Розглянемо деякий многочлен f(z)= a0 zn + a1 zn-1+ a2 zn-2 +...+an. При n=0 многочлен має вигляд і очевидно не має жодного кореня, тобто має 0 коренів. Розглянемо випадок, коли n 1. Тоді за основною теоремою алгебри многочлен f(z) має прийнамні 1 корінь, тобто Застосуємо наслідок з теореми Безу: Якщо степінь , то теорему доведено. Якщо степінь , то застосуємо основну теорему алгебри: Продовжуючи таким чином, отримаємо Отже, наслідок доведено. Зауважимо, що . Мимохідь ми довели наслідок 2.
Наслідок 2. Будь-який многочлен можна розкласти на лінійні множники в області комплексних чисел. , де - кратність кореня та s n.
Наслідок 3. Нехай задано два многочлена f(z) і g(z) степеня більшого або рівного n (n 1), значення яких збігається в n+1 точці, тобто ................................ Тоді многочлени f(z) і g(z) є рівними (в формально-алгебраїчному сенсі). Доведення. Припустимо супротивне. Нехай f(z) g(z). Тоді утворимо многочлен h(z)=f(z)–g(z) (при цьому очевидо, що степінь h(z) n). Тоді, згідно з 1 наслідком основної теореми алгебри, многочлен h(z) мусить мати не більше, ніж n коренів. Але існує n+1 точка, яка задовольняє умову: h(z)=0. Тому многочлен h(z) має n+1 корінь. Отримали суперечність, яка і доводить наслідок 3. За допомогою цієї теореми можна довести еквівалентність двох підходів до поняття рівності многочленів. Раніше ми довели, що якщо многочлени рівні в формально-алгебраїчному сенсі, то вони є рівними і в теоретико-функціональному.
Доведення оберненого. Степені многочленів є меншими або рівними деякого числа n, а многочлени збігаються в нескінченній множині точок. Виберемо серед них n+1 точку і застосуємо наслідок 3 основної теореми алгебри.
|