Поняття k-кратного кореня многочлена

Означення. Число α називається k- кратним коренем многочлена f(z), якщо f(z) ділиться на (z-α)^k без остачі і не ділиться на (z-α)^k+1 без остачі.

Для того, щоб отримати умову існування k-кратного кореня, треба знати поняття похідної від многочлена.

Многочлен, що розглядається, є комплексною функцією комплексної змінної, оскільки змінна z і коефіцієнти при степенях z є, взагалі кажучи, комплексними числами. Хоча формально поняття границі для комплексної функції комплексної змінної не відрізняється від поняття границі для дійсної функції, фактично воно стає більш жорстким. Це відбувається через те, шо околом для дійсної змінної є інтервал, а околом в комплексній області є відкритий круг.

Може трапитись, що, якщо функцію розглядати на дійсній осі, то вона має похідну в будь-якій точці, а якщо розширити область визначення до всієї комплексної області, то вона не матиме похідної.

Так, наприклад функція f(x)=x має похідну f ‘(z)=1. Але функція f(z)=x, що є дійсною змінною в комплексній площині, не має похідної в жодній точці, оскільки δ-околом довільної точки x₀ є відкрите коло і до точки x₀ можна «підійти» з нескінченної кількості сторін.

Тому ми не можемо використати знання з математичного аналізу 1 курсу. Тому ми незалежно від математичного аналізу введемо поняття похідної многочлена.

Означення. Похідною многочлена називається многочлен, що позначається і дорівнює

f ‘(z)=n∙a₀ z^n-1 +(n-1)∙a₁∙z^n-2+(n-2)∙a₂∙z^n-3 +...+a_n-1.

Зауваження. Виходячи з означення похідної для многочлена, можна довести такі правила знаходження похідної:

1,2) (f(z) g(z))’ =f ‘(z) g ‘(z)

3) (f(z) ∙ g(z))’ =f ‘(z) ∙ g(z)+ g ‘(z) ∙ f(z)

Теорема. Нехай α – k-кратний корінь многочлена f(z). Тоді α є коренем кратності k-1 для його похідної f ‘(z).

Доведення. Припустимо,що α – k-кратний корінь многочлена f(z). Тоді з а означенням k-кратного кореня многочлена маємо, що

f(z) (z-α)^k і f(z) не (z-α)^k+1 ( ­– ділення без остачі)

Потрібно довести, що

f ‘(z) (z-α)^k і f ‘(z) не (z-α)^k+1

Виходячи з правил обчислення похідних, маємо

Це означає, що

f ‘(z) (z-α)^k-1

Залишилося довести, що

f ‘(z) не (z-α)^k

Позначимо

Припустимо супротивне, що Q(z) (z - α).

Тоді

За припущенням Q(z) (z-α), а тоді і q(z) (z- α), а це суперечить тому, що

f(z) не (z-α)^k+1.

Отримали суперечність, яка і доводить теорему.