П°2.2 Примеры решения задач на построение методом пересечения

Задача №1. Построить треугольник, зная биссектрису b одного из углов и отрезки р и q (p ≠ q), на которые эта бис­сектриса делит противолежащую сторону.

Дано: р, q, b

1) АНАЛИЗ

Пусть треугольник АВС искомый (рис. 4), СМ - данная биссектриса b, [AM] и [ВМ] - данные отрезки р и q. Вершины А и В искомого треугольника легко построить. Значит, задача сводится к построению вершины С. Точка С должна удовлетворять двум условиям: 1) она должна находиться на расстоянии b от точки М; 2) от­ношение расстояний этой точки от вершин А и В должно быть равно p:q, т. е. |СА|:|СВ| = p:q.

2) ПОСТРОЕНИЕ (Рис. 5)

Строим:

1. [AM]: |AM| = p, [MВ]: |MВ| = q; А, М, В (AВ)

2.

3. - окружность Аполлония.

, - искомые

3) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Доказательство очевидно из анализа и построения.

4) ИССЛЕДОВАНИЕ

Для определенности возьмем p > q и пусть [MN] – диаметр окружности . Задача имеет решение лишь тогда, когда p < |MN|. Но

; ; , т. е. .

Следовательно,

Таким образом, задача имеет решение, если . Легко видеть, что в этом случае решение единственное. В самом деле, окружности и пересекаются при этом в двух точках С₁ и С₂, симметричных относительно прямой АВ. Поэтому треугольники АС₁В и АС₂В равны. Если , то задача не имеет решений.

Задача №2 Построить треугольник по его острому углу при вершине, радиусу описанной окружности и высоте проведенной к основанию.

Дано:

1) АНАЛИЗ

Пусть АВС – искомый треугольник (рис. 6), - описанная около него окружность, - данный угол, |АН| = h, где h – данный отрезок (рис. 6 а)).

Величина хорды [ВС] определяется из условия, что она видна из некоторой точки окружности под данным углом α, а следовательно, из центра О – под углом 2 α (равным центральным углам соответствуют равные хорды). Что касается точки А, то она определяется двумя условиями: 1) она лежит на окружности ; 2) она принадлежит ГМТ, удаленных на данное расстояние h от данной прямой l, содержащей основание треугольника [АВ] - объединение двух прямых l₁ и l₂, параллельных l и удаленных от l на расстояние h.

2) ПОСТРОЕНИЕ (Рис. 6 б))

Строим:

1.

2. [ОВ], [ОС]: , |ОВ| = |ОС| = R, (ВС) = l

3. Г₁ = {P| } =

4. [АВ], [АС] и [А'В], [А'С]

- искомые

3) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Доказательство следует из построения.

4) ИССЛЕДОВАНИЕ

Когда Г₁ имеет общую точку с окружностью , то задача имеет единственное решение; если общих точек две, то два решения; если общих точек нет, то решений нет.