П°1.2 Схема решения задач на построение

В качестве инструментов построения будем использовать циркуль и линейку. Приведем постулаты циркуля и линейки, описывающие шаги по строений, которые мы считаем выполнимыми.

П 1. Построение прямой, проходящей через две построенные точки.

П 2. Построение окружности с центром в построенной точке и радиусом, равным отрезку с концами в построенных точках.

П 3. Построение точки пересечения двух непараллельных прямых.

П 4. Построение точки пересечения построенной окружности и построенной прямой, если они пересекаются.

П 5. Построение точек пересечения двух построенных окружностей, если они пересекаются.

Кроме того, предполагается, что:

а) точки, прямые и окружности, заданные в условии задачи, построены;

б) существует хотя бы одна построенная прямая. На любой построенной прямой или окружности существуют по крайней мере две построенные точки.

При решении задач на построение включаются четыре этапа: анализ, построение, доказательство и исследование. Охарактеризуем каждый из этих этапов.

1. Анализ - поиск решения задачи.

Предполагается, что искомая фигура построена, делаегся схематический чертеж, на котором отмечаются все данные фигуры и искомая фигура. Затем устанавливаются связи между данными фигурами и искомой фигурой или ее элементами, в результате чего намечается план построения, т.е. выделя­ется последовательность простейших построений, после выполнения кото­рых строится искомая фигура.

Можно рекомендовать включать в анализ предварительное исследова­ние, которое позволяет выяснить, при каком выборе данных фигур или при каком их взаимном расположении задача имеет решение. Иногда не удается найти универсального способа решения дня всех возможных случаев взаим­ного расположения данных фигур. Тогда в анализе следует рассмотреть все такие случаи и наметить план решения в каждом из них.

Анализ заканчивается описанием (возможно, неявно) семейства фигур, среди которых находятся все решения задачи, или же семейства фигур, среди которых находятся представители всех классов конгруэнтных фигур, со стоящих из решений данной задачи.

2. Построение - состоит в перечислении и выполнении последовательно­сти простейших построений, в результате которых находятся все решения задачи при конкретном выборе данных.

3. Доказательство - заключается в проверке того факта, что каждая фи­гура, полученная на этапе построения, является решением, т.е. удовлетворя­ет всем условиям задачи.

4. Исследование - даёт ответ на следующие вопросы:

1) При каком выборе данных задача имеет решение.

2) Сколько различных решений может иметь задача при каждом воз­можном выборе данных?

(Условие, при которых задача имеет решение, либо могут быть записаны в виде некоторых алгебраических выражений, связывающих длины данных отрезков или величины данных углов, либо представляют собой какую-либо геометрическую связь между данными фигурами, чаще всего здесь фигури­рует пересечение данных фигур).

На этапе исследования выделяются все случаи, при которых решения на­ходятся различными способами. Для каждого способа решения анализиру­ются простейшие построения с целью выяснить для каждого из них число различных решений.

Кроме того, предполагается, что:

а) точки, прямые и окружности, заданные в условии задачи, построены;

б) существует хотя бы одна построенная прямая. На любой построен­ной прямой или окружности существуют, по крайней мере, две построенные точки.

Условимся о следующих обозначениях:

А, В, С,..., X, Y, Z - точки;

а, b, с,.... х, у, z - прямые;

(АВ) - прямая, проходящая через точки А и В;

а, b, с, х, у, z; - длины отрезков;

[АВ] - отрезок с концами в точках А и В;

|АВ| - расстояние между точками А и В;

[А, В) - луч с началом в точке А, проходящий через точку В;

- окружность с центром в точке О и радиуса r;

- окружность с центром в точке О и радиуса | АВ |;

, , , - углы;

— угол, образованный при пересечении прямых m и n.

Большое число задач связано с построением треугольников. Элементы треугольников будем обозначать следующим образом: А, В, С - вершины; , , - углы при соответствующих вершинах; а, b, с - стороны, противолежащие вершинам А, В и С; h_a, m_a, b_a - высота, медиана и биссектриса, проведенные из вершины А. Аналогично обозначаются высоты, медианы и биссектрисы других уг­лов;

R - радиус окружности, описанной около треугольника; r - радиус окружности, вписанной в треугольник; Z₀ - центральная симметрия с центром О;

S _l - осевая симметрия с осью l;

- поворот вокруг точки О на ориентированный угол φ;

- параллельный перенос на вектор ;

- гомотетия с центром О и коэффициентом k,

I - инверсия относительно окружности ω.\