Преобразование линейных пассивных электрических цепей

Эквивалентное преобразование части пассивной электрической цепи состоит в такой ее замене другой пассивной цепью, при которой остаются неизменными токи и напряжения остальной цепи, не подвергшейся преобразованию. К простейшим преобразованиям относятся замена последовательно и параллельно соединенных потребителей эквивалентным потребителем.

При последовательном соединении роль эквивалентного сопротивления (или сопротивления эквивалентного потребителя) играет сумма сопротивлений всех потребителей (рис. 1.11.).

(1.10) Это следует из II закона Кирхгофа:

(1.11)

При двух последовательно соединенных потребителях:

(1.12)

При параллельном соединении роль эквивалентной проводимости (или проводимости эквивалентного потребителя) играет сумма проводимостей всех потребителей (рис. 1.12.).

. (1.13)

Это следует из I закона Кирхгофа:

При двух параллельно соединенных потребителях:

(1.14)

Таким образом, для расчета цепей с последовательно включенными потребителями целесообразно их свойства выражать значениями сопротивлений, а для параллельно включенных – значениями проводимостей.

Определение эквивалентного сопротивления при смешанном соединении потребителей выполняется путем постепенного упрощения (сворачивания) исходной цепи.

Пример.

1. Параллельное соединение R ₁ и R ₂:

_2. Последовательное соединение R ₁₂ и R ₃:

3. Последовательное соединение R ₄ и R ₅:

4. Параллельное соединение R ₁₂₃ и R ₄₅:

5. Последовательное соединение R _ас и R _6:

Таким образом, эквивалентное сопротивление

Более сложными являются взаимные преобразования потребителей, соединенных звездой или треугольником. К таким преобразованиям следует обращаться в тех случаях, когда в цепи, подлежащей упрощению, нельзя выделить параллельное или последовательное соединения потребителей.

В узлах a, b, c и треугольник, и звезда на рис. 1.14. соединяются с остальной частью схемы. Преобразование треугольника в звезду должно быть таковым, чтобы при одинаковых значениях потенциалов одноименных точек треугольника и звезды притекающие к этим точкам токи были одинаковы, тогда вся внешняя схема «не заметит» произведенной замены.

Выразим U _ab треугольника через параметры потребителей и притекающие к этим узлам токи. Запишем уравнения Кирхгофа для контура и узлов a и b.

Заменим в первом уравнении токи I ₃ и I ₂ на соответствующие выражения:

По закону Ома напряжение U _ab для соединения потребителей треугольником:

(1.15)

Теперь получим выражение для этого же напряжения при соединении потребителей звездой:

(1.16)

Для эквивалентности данных цепей при произвольных значениях токов I _a и I _b необходимо равенство напряжений U _ab для соединения потребителей треугольником и звездой. Это возможно только при одинаковых коэффициентах уравнений (1.15) и (1.16), т.е.

(1.17)

Аналогично можно получить выражения для определения :

(1.18)

Таким образом, сопротивление луча звезды равно произведению сопротивлений прилегающих сторон треугольника, деленному на сумму сопротивлений трех сторон треугольника.

Формулы обратного преобразования можно вывести независимо, либо как следствие соотношений (1.17) и (1.18) через проводимости:

(1.19)

или через сопротивления:

(1.20)

Следовательно, сопротивление стороны треугольника равно сумме сопротивлений прилегающих лучей звезды и произведения их, деленного на сопротивление третьего луча.