Законы ассоциативности и коммутативности

Законами ассоциативности называются логические законы, позволяющие по‑разному группировать высказывания, соединяемые с помощью «и», «или» и др.

Операции сложения и умножения чисел в математике ассоциативны:

(а + в) + с = а + (в + с),

(а × в) × с = а × (в × с).

Ассоциативностью обладают также логическое сложение (дизъюнкция) и логическое умножение (конъюнкция). Символически соответствующие законы представляются так:

(A v B) v C ↔ A v (B v C),

(A & B) & C ↔ A & (B & C).

В силу законов ассоциативности в формулах, представляющих конъюнкцию более чем двух высказываний или их дизъюнкцию, можно опускать скобки.

Законами коммутативности называют логические законы, позволяющие менять местами высказывания, связанные «и», «или», «если и только если» и др. Эти законы аналогичны алгебраическим законам коммутативности для умножения, сложения и др.,

по которым результат умножения не зависит от порядка множителей, сложения — от порядка слагаемых и т.д.

Символически законы коммутативности для конъюнкции и дизъюнкции записываются так:

(А & В) ↔ (В & А),

А и В тогда и только тогда, когда В и А;

(A v В) ↔ (В v А),

А или В, если и только если В или A.

Данные эквивалентности можно проиллюстрировать примерами: «Волга — самая длинная река в Европе и Волга впадает в Каспийское море в том и только том случае, если Волга впадает в Каспийское море и Волга является самой длинной рекой в Европе»» «Завтра будет дождь или будет снег, если и только если завтра будет снег или завтра будет дождь».

Существуют важные различия между употреблением слов «и» и «или» в повседневном языке и языке логики. В обычном языке этими словами соединяются два высказывания, связанные по содержанию. Нередко обычное «и» употребляется при перечислении, а обычное «или» предполагает, что мы не знаем, какое именно из соединяемых им двух высказываний истинно. В логике значения «и» и «или» упрощаются и делаются более независимыми от временной последовательности, от психологических факторов и т.п. «И» и «или» в логике коммутативны. Но «и» обычного языка, как правило, коммутативным не является. Скажем, утверждение «Он сломал ногу и попал в больницу» очевидно не равносильно высказыванию «Он попал в больницу и сломал ногу».