Постоянный электрический ток. · Сила постоянного тока

· Сила постоянного тока

,

где Q – количество электричества (заряд), прошедшее через поперечное сечение проводника за время t.

Единица измерения силы тока ампер (А).

· Плотность электрического тока

,

где - единичный вектор, по направлению совпадающий с направлением движения положительных носителей заряда. Единица измерения плотности тока ампер на метр в квадрате (А/м²).

· Сопротивление однородного проводника

,

где ρ – удельное сопротивление вещества проводника, Ом∙м; l – его длина, м. Единица измерения сопротивления Ом (Ом).

· Зависимость удельного сопротивления от температуры

,

где ρ и ρ ₀ – удельные сопротивления соответственно при t и 0 ^оС; t – температура; α – температурный коэффициент сопротивления.

· Сопротивление последовательного соединения проводников

,

где R_i – сопротивление i -го проводника; n – число проводников.

· Сопротивление параллельного соединения проводников

.

· Закон Ома

а) для неоднородного участка цепи

,

б) для однородного участка цепи

,

в) для замкнутой цепи

,

где - разность потенциалов на концах участка цепи; ε ₁₂ – ЭДС источников тока, входящих в участок; U – напряжение на участке цепи, В; R – сопротивление цепи; ε – ЭДС всех источников тока цепи, В.

· Закон Ома в дифференциальной форме: плотность тока в любой точке проводника пропорциональна напряженности электрического поля в этой точке .

· Правила Кирхгофа

Первое правило (рис. 24): алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле, равна нулю

Рис. 24. Токи, сходящиеся в узле

, где n – число токов, сходящихся в узле.

Второе правило (рис. 25): в замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжений на всех участках контура равна алгебраической сумме электродвижущих сил

,

где I_i – сила тока на i -том участке; R_i – активное сопротивление на i -том участке; ε_i – ЭДС источников тока на i -том участке; n – число участков, содержащих активное сопротивление; k – число участков, содержащих источники тока.

Рис. 25. Замкнутый контур

· Работа, совершаемая электростатическим полем и сторонними силами в участке цепи постоянного тока за время t

.

· Мощность тока

.

· Закон Джоуля-Ленца

,

где dQ – количество теплоты, выделяющееся в участке цепи (Дж) за время t.

· Параллельное и последовательное соединение проводников.Сопротивление внешней цепи зависит от того, каким образом соединены ее элементы.

а) последовательное соединение проводников (рис. 26)

Рис. 26. Последовательное соединение проводников

, ,

б) параллельное соединение проводников (рис. 27)

Рис. 27. Параллельное соединение проводников

, .

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. В данной схеме (рис. 28) батарея с ЭДС равной ε = 100 В, R 1 = R 3 =40 Ом, R 2 =80 Ом, R 4 = 34 Ом. Найти силу тока, текущего через сопротивление R 2 и падение напряжения на этом сопротивлении. Сопротивлением батареи пренебречь.

Рис. 28. Схема батареи

Решение: По закону Ома для замкнутой цепи:

,

где: R – полное сопротивление цепи.

Резисторы R ₁, R ₂, R ₃ соединены параллельно и все вместе последовательно с R ₄. При параллельном соединении падение потенциала на каждом резисторе одинаковое, т.е. U ₁ = U ₂ = U ₃; а сопротивление:

Ом.

Полное сопротивление цепи:

R = R ₁₂₃ + R ₄ = 16 + 34 = 50 Ом.

По закону Ома А.

ЭДС батареи ε = I · R = I (R ₁₂₃ + R ₄) = I·R ₁₂₃ + I·R ₄ = U ₂ + I·R ₄,

откуда U ₂ = ε − I·R ₄ = 100 - 2·34 = 32 В.

Сила тока, текущего через сопротивление R₂:

А.

Пример 2. Сколько ватт потребляет нагреватель электрического чайника, если V = 1 л воды закипает через τ = 3 мин? Каково сопротивление нагревателя, если напряжение в сети U = 220 В. Начальная температура воды t ₁ = 5°С. Коэффициент полезного действия нагревателя η = 80%.

Решение: Мощность нагревателя: , где А – работа электрического тока.

Полезная работа численно равна теплоте, необходимой для нагревания воды: А _пол = cm (T ₂- T ₁) = c · ρV ·Δ T,

где с – удельная теплоемкость воды, ρ – плотность воды.

Коэффициент полезного действия нагревателя ,

следовательно: .

Тогда мощность нагревателя:

Вт.

Мощность электрического тока . Выразим отсюда сопротивление нагревателя: Ом.

Пример 3. Чему равно напряжение U на катушке, содержащей N = 1500 витков стального провода с диаметром витка D = 8 см, если плотность тока в ней j = 10 А/мм²? Удельное сопротивление стали ρ = 1,2·10^-7 Ом·м.

Решение: Напряжение на катушке определим из закона Ома для участка цепи , откуда .

Силу тока в катушке определим через плотность тока j и площадь поперечного сечения проводника, из которого намотана катушка:

, откуда .

Площадь поперечного сечения нам не дана, но она входит в формулу сопротивления .

Длину проводника l, из которого изготовлена катушка, можно найти, умножив число витков N на длину окружности одного витка. Поскольку диаметр окружности D, то .

Тогда .

Тогда напряжение получится .

Переведем все единицы в СИ: ; D = 8 см = 8∙10^{-2 м.}

Произведя вычисления, получим:

В.

Пример 4. Резистор из медной проволоки и амперметр включены последовательно. При температуре t ₀ = 0 ⁰С сопротивление резистора R ₀=20 Ом. Сопротивление амперметра R _А =10 Ом. Какую силу тока I ₂ будет показывать амперметр, когда резистор нагреется до температуры t = 100⁰C, если при температуре t ₀ = 0 ⁰С он показывает ток I ₁ = 4А? Температурный коэффициент меди α = 4,310^-3 К^-1.

Решение:

Рис. 29. Электрическая схема

Судя по условию задачи, общее напряжение U на резисторе с амперметром не изменялось (рис. 29), а с повышением температуры резистора изменилась сила тока в этом участке цепи вследствие увеличения сопротивления резистора от R 0 при температуре 0 0С до R при температуре t.

Запишем закон Ома применительно к этим условиям:

и ,

откуда и ,

поэтому ,

откуда (1).

Согласно зависимости сопротивления от температуры .

Подставив это выражение в (1), получим:

А.

Пример 5.Источник тока с ЭДС ε 1= 4 В и ε 2 = 2 В и внутренними сопротивлениями r 1 = 0,2 Ом и r 2 = 0,1 Ом, соединены следующим образом (рис. 30) и питают лампочку, сопротивление которой в нагретом состоянии R = 20 Ом. Какова мощность Р тока в лампе?

Рис. 30. Электрическая схема

Решение: Для определения мощности тока в лампе нам надо знать силу тока в цепи, поскольку сопротивление лампочки нам известно. Когда мы найдем силу тока, то мощность определим по формуле

. (1)

Силу тока в цепи найдем, воспользовавшись вторым правилом Кирхгофа. Нам достаточно составить одно уравнение второго правила Кирхгофа, поскольку мы имеем всего один контур. Будем обходить его против часовой стрелки. Тогда пред первой ЭДС поставим знак «+», а перед ε ₂ – «–», поскольку в этом источнике мы будем переходить от «плюса» к «минусу» в сторону понижения потенциала.

Запишем ,

откуда . (2)

Подставив (2) в (1) мы решим задачу:

Вт.

Пример 6. Сила тока в проводнике с сопротивлением R = 100 Ом равномерно возрастает от I ₀ = 0 до I = 10 А за время τ = 30 с. Определите заряд q, прошедший по проводнику, и выделившееся за это время в проводнике количество теплоты Q.

Решение: Так как сила тока в проводнике возрастает равномерно от I ₀ = 0 до I = 10 А, то можно считать, что I является некоторой функцией от времени t, причем эта зависимость линейна: I = k · t. Коэффициент пропорциональности

А/с. (1)

Заряд d q, прошедший за время d t, определяется как:

dq = I · d t = k · t · d t, (2)

Для определения всего заряд q, прошедший за время τ, нужно проинтегрировать (2) в пределах от 0 до τ:

. (3)

Подставляя численные значения в уравнение (3), получим:

Кл.

Количество теплоты d Q, выделившееся за время d t в проводнике, определится как: Q = I ² · R · dt = k · R · t ² · d t. (4)

Полное количество теплоты Q, выделившееся за время τ, определится интегрированием: .

Подставляя численные значения в последнюю формулу, получим:

Дж.

Пример 7. Источники тока с электродвижущими силами ε 1 и ε 2 включены в цепь, как показано на рис. 31. Определить силы токов, текущих в сопротивлениях R 2 и R 3, если ε 1 = 10 В и ε 2 = 4 В, а R 1 = R 4 = 2 Ом и R 2 = R 3 = 4 Ом. Сопротивлениями источников тока следует пренебречь.

Рис. 31. Электрическая схема

Решение: Силы токов в разветвленной цепи определяют с помощью законов Кирхгофа. Чтобы найти четыре значения силы токов, следует составить четыре уравнения.

Перед составлением уравнений по закону Кирхгофа необходимо, во-первых, выбрать произвольно направления токов, текущих через сопротивления, указав их стрелками на чертеже, и, во-вторых, выбрать направление обхода контуров (для составления уравнений по второму закону Кирхгофа).

Выберем направления токов, как они показаны на рисунке, и условимся обходить контуры по часовой стрелке.

Рассматриваемая в задаче схема имеет два узла: А и В. Но составлять уравнение по первому закону Кирхгофа следует только для одного узла, так как уравнение, составленное для второго узла, будет следствием первого уравнения.

При составлении уравнений по первому закону Кирхгофа необходимо соблюдать правило знаков: ток, подходящий к узлу, входит в уравнение со знаком плюс; ток, отходящий от узла, – со знаком минус.

По первому закону Кирхгофа для узла В имеем:

.

Недостающие три уравнения получим по второму закону Кирхгофа. При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа необходимо соблюдать следующие правила знаков:

1) если ток по направлению совпадает с выбранным направлением обхода контуров, то соответствующее произведение I · R входит в уравнение со знаком плюс, в противном случае произведение I · R входит в уравнение со знаком минус;

2) если ЭДС повышает потенциал в направлении обхода контура, т. е. если при обходе контура приходится идти от минуса к плюсу внутри источника, то соответствующая ЭДС входит в уравнение со знаком плюс, в противном случае – со знаком минус.

По второму закону Кирхгофа имеем соответственно для контуров:

AR ₁ BR ₂ A: I ₁ R ₁ – I ₂ R ₂ = ε ₁ – ε ₂, (1)

AR ₁ BR ₃ A: I ₁ R ₁ – I ₃ R ₃ = ε ₁, (2)

AR ₃ BR ₄ A: I ₃ R ₃ – I ₄ R ₄ = 0. (3)

Подставив в равенства (1) – (3) значения сопротивлений и ЭДС, получим систему уравнений: I ₁ + I ₂ + I ₃ – I ₄ = 0;

2 I ₁ – 4 I ₂ = 6;

2 I ₁ – 4 I ₃ = 10;

4 I ₃ + 2 I ₄ = 0.

Решая систему уравнений, находим искомые значения токов: I ₂ = 0, I ₃ = –1А.

Знак минус у значения силы тока I ₃ соответствует тому, что выбранное вначале направление тока противоположно истинному.