Задача нахождения оптимальной траектории

Примем за начальные условия такую мысль: ракета уже готова, мы знаем все ее характеристики и способности, и никаким образом не можем повлиять на железо, за исключением добавления полезной нагрузки в ущерб загруженного топлива.

Задачи об оптимальности в целом рассматривает математическая дисциплина под названием «вариационное исчисление». Она помогает составить такое математическое выражение (траекторию, уравнение движения, иной процесс), которое наилучшим (оптимальным) образом будет удовлетворять какому-то (не обязательно одному) критерию качества. Такой критерий выбирается на основе физической сути задачи. Давайте продумаем, каким он будет для задачи выведения на орбиту?

Очевидно, что чем дольше ракета летит, тем продолжительнее действие всех нехороших сопротивлений, т.е. имеем зависимость от времени. Взглянем теперь на тягу. Как говорили выше, тяга зависит от секундного расхода, а его в моделях часто берут постоянным. Вспоминаем, чего хотели изначально — побольше массы в конечной точке. Значит, хотим, чтобы двигатель израсходовал как можно меньше топлива для выполнения своей задачи, ибо те остатки топлива можно заменить на вкусности для космонавтов или расширение рамок доступной массы ученым и конструкторам полезной нагрузки.

А теперь настало время просуммировать наши размышления в одно целое. Нам нужен МИНИМУМ потерь от сопротивлений и МИНИМУМ расхода топлива. Оба параметра зависят только от времени. Значит, просто возьмем и скажем: ракета должна выполнить свою задачу как можно быстрее. Это и будет базовый критерий качества для нас. Но, конечно, совершенно не единственный, ибо в одиночку он дает нам ровно 0 полезности.

Чтобы полезная нагрузка осталась на стабильной орбите, нам, очевидно, требуется сообщить ей горизонтальную скорость не меньше первой космической, а вертикальную и боковую — погасить. Итого получим второй критерий качества — максимум горизонтальной скорости при минимуме вертикальной и боковой. Добавим параметр высоты такой, чтобы влияние атмосферы не было значительным и, в целом, получили достаточно, чтобы решать задачу.

Решения находится с помощью методов вариационного исчисления, и в основном в подобных задачах используется принцип максимума Понтрягина, за разработку которого самому Понтрягину и его команде (ответственной за строгое доказательство работоспособности) была присуждена Ленинская премия в 1962 году. Если говорить коротко, то основная идея состоит в нахождении минимума некоторой функции, которую несложно составить на основе наших уравнений и критериев качества. А вот сам минимум найти зачастую весьма проблематично.

Допустим, для наших критериев качества и при наших уравнениях за вычетом аэродинамических сил, решение находится относительно легко. Но все меняется и становится куда более невкусным, когда к этому делу добавляются различные ограничения:

• Тяга двигателя не может быть выше максимально допустимой (совсем быстро не выйдет)
• Нагрузки на корпус не должны быть слишком большими (углы атаки и скольжения надо держать в рамках, а в период наибольшего значения аэродинамического давления — околонулевыми)
• Скорость реакции управляющих органов не бесконечна (резко сменить направление не удастся)
• При разделении ступеней нужно выдерживать определенные перегрузки и, чаще всего, нулевые угловые скорости
• Травмировать космонавтов и крушить тонкую электронику сильными ускорениями тоже не стоит.

Это все еще можно учитывать так, чтобы математическая оптимальность сохранялась, однако, сложности сильно вырастают и в лоб атаковать задачу трудно. А теперь следует учесть еще одну группу, которая как раз и вызывает отклонение реальных программ управления ракетой от самых годных да оптимальных. Допустим, дядя Вася не будет рад, если на его баню прилетит отработанная первая ступень. А ребята с космодрома хотят быть уверенными, что в случае нештатной ситуации гептиловая ракета не навернется на ближайший бункер, с каким бы азимутом ее не запускали. Иными словами — ограничения по старту и с целью безопасности.
По этим и другим причинам в программу управления вносятся дополнительные коррективы, которые уже учитываются нетривиально и требуют, так сказать, индивидуального подхода и математической смекалки с интуицией.

Уверенное маневрирование в этом поле, изрытом ямами-ограничениями при желании добраться к цели как можно качественней — и есть основная задача специалистов, задающих полетное задание ракете. Частично она является и творческой — ибо большая часть операций не допускает прямолинейных решений-рассуждений.