Геометрия, динамика, вселенная 1 page

Розенталь Э Л

И.Л.Розенталь

ГЕОМЕТРИЯ, ДИНАМИКА, ВСЕЛЕННАЯ

А Н Н О Т А Ц И Я

Книга посвящена проблемам современной физики и космологии. Рассматривается современная геометрия и ее связь с динамикой, новейшие модели эволюции Метагалактики, обсуждается проблема структуры физического пространства и его размерность. Все эти проблемы теоретической физики и космологии автор излагает для читателей, знакомых с общей физикой в объеме курсов, читаемых в вузах. Книга рассчитана на читателей, интересующихся современными достижениями космологии и физики.

R E A D M E

Существует добрая традиция набирать и распространять на носителях только художественную или специальную литературу. Но эта книга показалась мне столь интересной, несмотря на уже достаточно давний год издания, что я решил ее набрать. В свое время поразительным образом получила широкую известность теория относительности Эйнштейна, что в общем-то крайне удивительно, если учесть косность интересов обывателя. Говорят, что в свое время даже выпускались брошюры типа "теория относительности для домашних хозяек". Вероятно, сама мысль о том, что мир может быть абсолютно не таким, каким он кажется нам с нашими органами чувств и бытовым опытом была такой потрясающей, что вызывала интерес даже у людей далеких от физики.

С тех пор физика несколько ушла вперед. Но интерес к тому, в каком же мире мы живем, уже успел быстро угаснуть, как угасает и всякая газетная сенсация. А вопрос весьма-таки интересный - поскольку мир действительно вовсе не такой, каким кажется. И вопросы о том, сколько измерений он имеет, ПОЧЕМУ он такой, а не другой и т.п. кажутся относящимися скорее к области фантастики или религии, чем науки. А уж то, что на них возможно дать ответ - это уже воспринимается, как абсолютная фантастика. Кстати, к вопросу о религии - слова о "целенаправленности" развития мира, о "запланированности" появления наблюдателя и т.п. звучат в устах современного физика просто потрясающе - не потому ли многие из великих физиков совершенно сознательно становились людьми верующими, хотя об этом и не принято говорить. Не менее интересным является и вопрос о том, КАК рождался наш (да и в общем-то не только наш) мир и что с ним теперь происходит. А уж вопрос, что с ним будет дальше - и вовсе животрепещущ.

Подход автора данной книги в этим вопросам очень необычен. Другие авторы предпочитают этих вопросов просто не касаться. И вообще поднятие их (этих вопросов) в физике рассматривается как "дурной тон". Но в то же время на большинство из них физика уже вполне в состоянии ответить если только дать себе труд немного пошевелить мозгами. Современные ученые крайне не любят вопросов "Почему?", поскольку это вопросы, которые могут пошатнуть незыблемые твердыни науки, на коих покоится благополучие и благосостояние как самой науки, так и всех ученых при ней. А вопросы эти гораздо более актуальные, чем "Как?". Хотя и этих последних ученые тоже не любят. Они вообще не очень любят вопросы. И не очень любят излагать нормальными человеческим словами и понятиями, до чего же они докопались, видимо, справедливо полагая, что их могут при этом принять за сумасшедших. И отсюда и начинают вылезать всякие "вектора состояний", вращающиеся в "фазовых пространствах" и пр., поскольку если вы заговорите о измерениях выше третьего, то вас немедленно отнесут к братству или сумасшедших, или фантастов. А в то же время физика сегодня уже могла бы рассказать очень много интересного и о нашем мире, и о других мирах - если оторваться от многоэтажных формул и весьма непонятных значков и трудновыговариваемых слов и произнести все нормальным человеческим языком. Удивительно, но большинство этих хитростей можно буквально "объяснить на пальцах". Этим, собственно, и отличается физика от многих других наук.

Эта книга как раз позволяет достаточно наглядно и просто понять и представить себе тот мир, в котором мы НА САМОМ ДЕЛЕ обитаем. Не тот, который мы привыкли видеть по дороге от кухни до сортира, а тот, который НА САМОМ ДЕЛЕ существует и который мы часто просто - увы - не в состоянии воспринять. Но в состоянии о нем догадаться, в состоянии его понять. И мир этот оказывается фантастически красивым, гармоничным, настолько многообразным, что нам даже не всегда удается его вообразить себе, нам, закованным в тиски трехмерных оков и ограниченных вялотекущими секундами нашего краткого времени. И на фоне этих чудесных видов наш ежедневный путь из сортира в умывальную становится нам гораздо менее интересен, нежели пути звезд и планет, пути развития Вселенной, пути рождения и гибели Мира.

Эта книга не всегда все раскладывает по полочкам, до чего-то вам придется доходить уже своим умом. Но она делает - я надеюсь - самое главное: разбивает наше окостенелое представление о застывшем, заморозившемся мире наших бытовых представлений. Для того, чтобы понять ее, вполне достаточно знаний по физике на уровне обычной школы, а то и того меньше. Но она требует способности вообразить себе не очень вообразимое и отказаться от тех привычных траекторий нашей мысли, которые были вбиты в нас с детства. Наверное, этим и отличаются великие физики от людей ординарных - умением отказаться от общепринятых, "смерзшихся" понятий и способностью взглянуть на вопрос "сверху".

Итак - приятного вам чтения и новых впечатлений.

M.

ВНИМАНИЕ! В силу ограниченности шрифтов экрана и обычного принтера нам придется ввести ряд условных обозначений. Схема и иллюстрации будут воспроизведены по возможности.

~ - знак "около", "порядка".

~~ - две тильды одна под другой - "примерно равно".

~- - тильда над дефисом - "эквивалентно", надо полагать. Скорее должно бы быть тильда над равно.

+- - "плюс-минус", т.е. минус под плюсом. Это может быть и в надиндексе, как в W+- - бозоне.

** - знак возведения в степень. Иногда он делается в виде надиндекса.

=< - меньше или равно

>= - больше или равно

~< - порядка или больше

~ - порядка или меньше

/= - не равно

== - значок тождества, т.е. три черточки друг под другом.

-> - значок "сумма" -

-----------------, \/..... - значок корня

---\ \ \ - значок интеграла. \

\ \--

-> - стрелочка "переходит" или "стремится". Это же над именем отрезка или латинской буквой - значок вектора.

^ - значок "дельта" (треугольничком)

ю - (в индексах) - греческая НЮ.

v - (в индексах) греческая??? (V согнутая вверху налево).

A - (в индексах) - греческая "альфа".

ALPHA - греческая буква "альфа"

BETA - греческая буква "бета"

DL - дельта маленькое (этакое d в производных, но только с загнутым хвостиком). В частных производных.

EPS - греческая буква "эпсилон" (?).

FI - греческая буква "фи"

GAMMA - греческая буква "гамма"

HP - постоянная планка - h с перечеркнутой палкой. Кажется, что-то типа 1/247

LAM - греческая "лямбда" (или как там ее зовут, длина волны).

NU - греческая буква "ню".

OME- греческая "омега" большая.

PI - греческие "пи", длина окружности

PSI - такая греческая буква, кажется, читается "пси".

PSIG - "пси" большое

RO - буква "ро", обозначает обычно плотность чего-нибудь.

SIGM - греческая "сигма".

TAU - греческая буква "тау".

TETA - греческая буква "тета"

БЕСК - значок бесконечности (лежачая восьмерка)

... - выделенный текст (курсивом).

Надиндексы пишутся в верхней строке, подиндексы - в нижней, в текущей же строке на этом месте ставится знак |. Будьте аккуратны при разбиении на страницы.

Звездочка в знаке умножения означает точку; x означает умножение крестиком (векторное и т.п.).

В сносках номер сноски заменен на `. При этом сноска следует сразу за текущим абзацем и выделена горизонтальными линиями.

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА

Микеланджело принадлежит высказывание, что искусство скульптора состоит в умении отсекать лишнее. Известны аналогичные высказывания классиков литературы о писательском мастерстве.

Вряд ли многословие угрожает авторам книг по физике и математике. Некоторые из этих книг состоят почти полностью из формул. Но существует другая опасность - многомыслие, возникающие из-за желания автора охватить максимальное число фактов и теорий, относящихся к рассматриваемой проблеме.

Именно этой опасности, усугубляемой широтой избранной темы, хотел избежать автор настоящей книги, поэтому он старался по возможности ограничить круг привлекаемого для рассмотрения материала.

Однако, это не всегда удавалось в полной мере. Дело тут вот в чем. Тема этой книги - новые представления о структуре физического пространства и происхождении Метагалактики, пересмотр старых. Необходимость же подобного пересмотра в отличие от специальной или общей теории относительности, базирующихся на небольшом количестве бесспорно установленных фактов (опыт Майкельсона, отклонение света в гравитационном поле Солнца и смещение перигелия Меркурия), основывается на многих относящихся к различным областям физики экспериментальных фактах.

И еще одну опасность предстояло избежать автору пройти между Сциллой и Харибдой научно-популярной книги найти в излагаемом материале верное сочетание, необходимую пропорцию между устоявшимся, уже вошедшим в обиход и новым, только появившимся, остромодным.

Непрофессионалу, возможно, трудно представить себе, насколько физики (как, вероятно, и представители других наук) подвержены моде.

Так, 1980 - 1982 гг. прошли под лозунгом: "Даешь распад протона". Строились огромные установки, вкладывались большие средства, а эта "проклятая" частица все еще не хочет распадаться. Автор далек здесь от иронии: обнаружение распада протона стало бы эпохой в физике, но увы...

В 1983 г. были модны многомерные теории Калуца-Клейна.

В 1984 - 1985 гг. стали популярны "супертеории", основанные на таких понятиях, как "супергравитация", "суперсимметрия", "суперпространство", "суперструны" и т.д.

Как подтверждение суперсимметрии оптимисты трактуют буквально с неба снизошедшее излучение двойной звезды Syg-X3. Пессимисты же более осторожны в своих выводах.

При создании книги мы воспользовались рекомендацией А.К.Толстого: "О том, что очень близко, мы лучше умолчим". Чтобы оценить все эти "супертеории", нужна некоторая временн`ая перспектива, да и сделать их изложение простым достаточно сложно. Поэтому автор сосредоточил свое внимание на многомерных теориях, благо прошло уже достаточно времени (несколько лет) с тех пор, как они оказались в центре внимания. Впрочем, чтобы не прослыть суперретроградом, автор не мог порой удержаться от использования терминов с приставкой "супер".

Трактовать современные представления о пространстве, не упоминая классические их образы - пространства Минковского и Римана, равносильно постройке большого здания на песке. Казалось необходимым кратко напомнить их свойства. Это, возможно, придало книге некоторую архаичность.

Как видно из предисловия, поводов для замечаний предостаточно. Автор будет благодарен читателям за деловое обсуждение затронутых им вопросов.

ГЛАВА 1. Г Е О М Е Т Р И Я

1. ЭМПИРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Основы эмпирической геометрии, как науки о непосредственно наблюдаемом пространстве были заложены в глубокой древности: в Египте, Вавилоне и Греции. Итоги многовековых размышлений о количественных соотношениях между видимыми, непосредственно наблюдаемыми объектами были подведены в III в. до н.э. Евклидом. В течение почти 2.5 тысячелетий евклидова геометрия является одним из столпов школьной математики. практически в неизменной форме она дошла до нашего времени. Случай этот уникален. почти забыта физика Аристотеля, о математическом анализе Архимеда вспоминают лишь историки математики. Школьная же геометрия базируется на геометрии Евклида. Разница в основном лишь в методике изложения.

В чем причины поразительной живучести евклидовой геометрии? На наш взгляд, ответ на этот вопрос многозначен. Во-первых, она хорошо отображает простейшие количественные отношения форм реальных объектов, во-вторых, евклидову геометрию характеризует поражающая логичность и методическая завершенность, наконец, евклидова геометрия является превосходной основой для воспитания логического мышления на общедоступных примерах, имеющих широкие практические приложения.

Поучительно подробнее разобрать приведенные аргументы.

Геометрия (как указывает ее название) родилась из практических задач - измерения площадей земельных участков. Например, простейший вопрос об отношении площадей круга и квадрата нельзя решить без помощи геометрии (в рамках элементарной математики). Именно задачи о сравнении площадей земельных участков очень часто приходилось решать древним геометрам.

Отметим, что актуальность решения подобных задач сохраняется и поныне. Можно с уверенностью сказать, что читатель сталкивается с вопросом о длинах, площадях и объемах различных предметов. Основные понятия геометрии Евклида прочно вошли в нашу жизнь. Образы точки (например, в письме), плоскости (стены комнат) и объемов)дома, в которых мы живем) - наша повседневная действительность.

Евклид (точнее, его геометрия) в достаточно общем виде решил одну из важнейших практических проблем: количественного сравнения реальных объектов с разными формами. Созданная им геометрия была облечена в столь безукоризненную изящную форму, что актуальная для современности проблема "практического внедрения" была решена без задержек.

Несомненно, что "живучести" геометрии Евклида и ее быстрому "внедрению" способствовала ее адекватность кинематике абсолютно твердых тел. Неизменность их формы при перемещениях оптимально описывается в рамках евклидовой геометрии.

Подчеркнем далее, что вместе с геометрией Евклида в математику пришла абстракция. Для геометрии (по крайней мере в ее привычной формулировке) безразлично, сравниваются ли, например, объемы однородных предметов (двух комнат) или различных (например, гаража и автомашины). Геометрия как часть математики отвлекается от сущности объекта исследования. И в этой особенности имеются как сильные, так и слабые стороны.

Сила традиционной геометрии - в ее общности, универсальности. Слабость - в абстрагировании, создающем предпосылки для размытия основополагающих понятий геометрии, размытия, затрудняющего их сопоставление с реальными объектами, явлениями или процессами. До определенного времени этому обстоятельству не придавали серьезного значения, однако, когда наступила пора подвергнуть геометрию критическому переосмысливанию, высветилась эта слабая сторона геометрии. Возникла парадоксальная ситуация: самая точная и, по-видимому, самая наглядная наука - геометрия базируется на понятиях, не поддающихся точным определениям. Чтобы оправдать такое сильное утверждение, полезно напомнить некоторые "школьные" истины.

Учитель, начиная обучение геометрии, произносит слова: "Точка - объект, лишенный протяженности, линия - объект, характеризуемый длиной, но лишенный ширины" - и затем иллюстрирует эти определения, отмечая мелом на доске точку и проводя линию. Однако, размеры такой точки ~ 1 мм, ширина линии также ~ 1 мм - символ точечности? Это утверждение в значительной степени базируется на авторитете учителя.

Если постараться, можно, используя тонкое перо, свести размеры "точки" или "ширины" линии до ~0.1 мм, но и эта величина не соответствует геометрическому определению точки или линии.

Опираясь на весьма тонкие оптические методы, можно уменьшить размеры точки до 10**-10 см. Данные о рассеянии некоторых элементарных частиц свидетельствуют, что их размеры ~<10**-16 см. Однако и в этом случае не исчезает "проклятый" вопрос: можно ли объекты, характеризуемые столь малыми величинами, полагать "точками"?

Те же трудности возникают при попытках эмпирически воспроизвести другое основное понятие геометрии - прямую линию. Обычно полагают, что эталоном прямой является луч света, распространяющийся в пустом пространстве. Однако в соответствии с основными принципами оптики и квантовой механики ширина пучка света по порядку величины равна длине волны LAM, а это значение невозможно свести к нулю.

Но главная проблема, пожалуй, не в конечности величины LAM. Положение о прямолинейности распространения света в пустоте (даже в пренебрежении значением LAM) само является лишь постулатом, требующим независимого доказательства. В нашем распоряжении нет априорно идеальной линейки, которая позволила бы проверить прямолинейность распространения светового луча. Следовательно, это утверждение имеет лишь полуинтуитивное обоснование, основанное на том эмпирическом факте, что в нашем распоряжении нет других методов, позволивших прочертить абсолютно прямую линию между двумя точками. Однако даже это свойство света не гарантирует его прямолинейность. Допустим, что пространство имеет форму сферы. Кратчайшее расстояние на сфере - отрезок большого круга, отнюдь не тождественный прямой. Поэтому утверждение: световой луч прочерчивает прямую эквивалентно тезису: наше пространство плоское, евклидово. А этот тезис сам нуждается в эмпирическом образовании.

К этому вопросу мы далее будем неоднократно возвращаться.

2. ГЕОМЕТРИЯ

КАК ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

ДИСЦИПЛИНА

До конца 20-х годов прошлого столетия евклидова геометрия казалась незыблемой и единственной теорией пространства.

В 1829 г. Н.И.Лобачевский опубликовал статью "О началах геометрии". В этой статье, так же как и в письмо молодого венгерского математика Я.Больяи, переданном К.Гауссу, утверждалось, что возможно построение непротиворечивой геометрии, не содержащей известный пятый постулат евклидовой геометрии. Этот постулат, гласящий, что через точку, лежащую вне данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной, казался наиболее уязвимым (или наименее очевидным) априорным требованием евклидовой геометрии. Однако попытки вывести его из других аксиом оканчивались всегда неудачей. Поэтому был выбран другой путь - построение геометрии, основанной на всех аксиомах и постулатах Евклида, но в которой был заменен пятый постулат о параллельных: через одну точку можно провести либо бесконечное множество прямых, параллельных данной, либо ни одной.

Кажется не лишенным интереса следующий вопрос: почему в течение тысячелетий геометрия Евклида сохранялась в первозданной форме, а затем почти одновременно три человека подвергли ревизии одно из основных ее положений? Разумеется, на этот вопрос нет однозначного ответа. Однако разумно допустить, что подобное совпадение не случайно. В ревизии геометрии свою роль сыграл психологический климат, характерный для общественной жизни того времени, явившийся следствием происшедших революционных потрясений и обусловивший стремление к критическому пересмотру канонизированных учений. Даже библейские догматы, освященные тысячелетней верой и поддерживавшиеся авторитарностью церкви, подверглись критическому анализу (Б.Спиноза).

Лишь геометрия Евклида оставалась каноническим учением, но, наконец, наступила и ее очередь.

Необходимо подчеркнуть важное обстоятельство. Отрицание пятого постулата отнюдь не означает отрицания всей Евклидовой геометрии. Все аксиомы его геометрии и сам дух этой науки сохранились. Но отрицание даже одного утверждения Евклида имело далеко идущие последствия: возникла мысль, что геометрия Евклида не единственное и не последнее слово в геометрии. А такая мысль могла быть расценена в то время не иначе, как ересь. (Известно, что Гаусс не опубликовал своих исследований по основам геометрии, опасаясь непонимания со стороны своих коллег.)

Исключительно важным следствием скепсиса в отношении пятого постулата является постановка вопроса о необходимости его экспериментальной проверки. Непосредственная его проверка весьма затруднительна. Представляется даже уместным употребить слово "невозможна". Дело в том, что если (как отмечалось ранее) нет экспериментального критерия (прямизны) линии, то еще более сложно реализовать эмпирически несколько прямых и убедиться, в отсутствии их пересечения на больших расстояниях. Однако пятый постулат о параллельных эквивалентен (в сочетании с другими аксиомами евклидовой геометрии) утверждению, которое в принципе подвергается непосредственной проверке. согласно этому утверждению сумма углов треугольника равна PI. Измерение углов - операция весьма разработанная, и поэтому проверку этого положения можно проделать с относительно хорошей точностью.

Уже в первых работах по неевклидовой геометрии было продемонстрировано, что отклонение суммы углов треугольника от PI (при отрицании постулата о параллельных) пропорционально площади треугольника. Поэтому казалось, что если провести измерения углов достаточно большого треугольника, то нетрудно проверить истинность (или ложность) пятого постулата. К сожалению, такой оптимистический вывод необоснован.

Истоки трудностей предложенного метода проверки коренятся в принципиальной неопределенности термина "большое само по себе". В точных науках имеет смысл лишь утверждение: "большое относительно чего-то". В упомянутом же выше утверждении отсутствует именно эталон, который вдохнул бы полноценное содержание в утверждение о сумме углов треугольника.

Лобачевский и Гаусс (независимо) в своих попытках проверить евклидову геометрию, по-видимому, исходили из убеждения, продиктованного античной философией: "человек мера всех вещей". Поэтому казалось, что достаточно выбрать треугольник со сторонами, существенно превышающими размеры человека. Например, Гаусс измерил сумму углов треугольника со сторонами, во много раз (10**5) превышающими размеры человека. В результате измерений оказалось, что в пределах экспериментальных ошибок сумма углов треугольника равна PI.

Следует четко понимать, что в экспериментальном подходе в проверку пятого постулата "нет" и "да" весьма неэквивалентны. Метод, основанный на измерении суммы углов треугольника, может продемонстрировать отклонение от евклидовой геометрии, но не может доказать ее абсолютную справедливость. Действительно. какой бы треугольник в пределах наблюдаемой части Вселенной мы ни использовали в качестве образца, всегда можно утверждать, что его площадь мала, а точность наших приборов недостаточна для обнаружения отклонений от евклидовой геометрии. Все же известная польза от опытов Гаусса - Лобачевского (или аналогичных экспериментов) существует: если и есть отклонения от евклидовой геометрии, то они малы. Это вывод верен по крайней мере для масштабов, существенно превышающих привычные земные расстояния.

Итак, с одной стороны, евклидовость пространства допускает опытную проверку. В другом аспекте - евклидова геометрия как логическая система аксиом и теорем является лишь одной из возможностей. В дальнейшем мы продемонстрируем, что таких возможностей много, существенно больше, чем полагали основоположники неевклидовой геометрии. Тем не менее геометрия нашего пространства евклидова или почти евклидова. Почему природа выбрала этот вариант геометрии? На этот вопрос мы попытаемся ответить в гл.3.

Здесь же мы ограничимся замечанием, что среди всех логически замкнутых геометрий система Евклида является наиболее простой. Представляется, что, помимо простоты, эта геометрия также и наиболее естественна. Впрочем, подобное суждение лишь отражает субъективное мнение автора.

Для иллюстрации идеи неевклидовости пространства полезно привести достаточно простой пример. Пусть пространством является поверхность обычной двумерной сферы. Отвлечемся прежде всего от привычного образа сферы, вложенной в видимое трехмерное пространство, полагая сферу самостоятельным автономным объектом. Будем полагать, что "прямые" в таком сферическом пространстве - кратчайшие расстояния между двумя заданными точками на сфере, т.е. дуги большого круга. Положим, что бесконечным прямым в евклидовом пространстве соответствуют окружности на сфере. Здесь правильно будет говорить именно о соответствии, а не о тождестве, поскольку окружность на сфере обладает лишь одним свойством евклидовой прямой - отсутствием границ, но не обладает другим ее свойством - бесконечной протяженностью. Окружность на сфере безгранична, но конечна. Нетрудно, далее, убедиться, что через любую точку сферы, не находящуюся на данном большом круге, нельзя провести большой круг, не пересекающий данный, т.е. "параллельную". Иначе говоря, все "прямые" пересекаются.

Отметим также и другую важную особенность сферической геометрии. Если вырезать из сферы достаточно малую площадку, то геометрия будет имитироваться геометрией Евклида. Здесь полезно подчеркнуть, что подобный прием - вычленение из более сложной геометрии простейшей (в данном случае геометрии Евклида) с помощью выделения малой части полного пространства (здесь - сферы) - прием весьма распространенный и мы далее столкнемся с ним не раз.

После открытия одного варианта неевклидовой геометрии в последующем своем развитии геометрия как ветвь математики прошла весьма значительный путь. Были развиты многие другие неевклидовы геометрии (некоторые из них рассматриваются далее в разд. 6 и 7 этой главы). В подобной эволюции существенную роль сыграло внедрение в геометрию аналитических методов. По существу, геометрия слилась с алгеброй (точнее, с математическим анализом), оставив в своем арсенале лишь одну (хотя и важную) привилегию определенную форму мышления, в которой большую роль играют образность и наглядность.

3. ИДЕАЛИЗАЦИЯ И ПРИБЛИЖЕНИЕ

Ранее мы упоминали о некоторой неопределенности в основных понятиях геометрии: точка, линия и т.д. Превосходной иллюстрацией такой неопределенности является геометрический принцип двойственности. Суть этого принципа заключается в том, что если поменять местами наглядные образы точки и прямой, то в аксиомах и теоремах геометрии почти ничего не изменится.

Покажем некоторые простейшие примеры проявления принципа двойственности, для чего вначале приведем стандартные положения геометрии, а затем попросим читателя сделать усилие и в соответствующих фигурах совершить взаимную замену точек и прямых.

1. Через одну точку можно провести бесконечное число прямых. Любая прямая содержит бесконечное число точек. Второе положение эквивалентно первому в следующем смысле: нужно слово "провести" заменить на "содержит". Такая замена имеет лишь семантический характер.

2. Через точку пересечения двух прямых a и b можно провести бесконечное число прямых, расположенных между прямыми a и b. Ясно, что и это положение сохраняет свою силу при взаимной замене точек и прямых.

3. Треугольник -- это фигура, образованная тремя прямыми, проходящими через три точки, не лежащие на одной прямой. Легко проверить, что при взаимной замене точек и прямых получается привычный треугольник.

Число иллюстраций принципа двойственности можно существенно увеличить, он пронизывает всю геометрию. Отсюда можно сделать вывод: интуитивные понятия "точки" и "прямой" в значительной степени условны.`

-----------------------------------------------------------` Важно отметить, что в последнее время в физике микромира развиваются представления о том, что основным элементом геометрии - точкой - являются линейные элементы. Подробнее об этом см. разд. 10, гл. 2. -----------------------------------------------------------

Из этого вывода следует естественный вопрос: как самая точная наука - математика (точнее, одна из ее областей геометрия) может базироваться на системе не вполне определенных понятий? Более того, при взаимной замене ее основных определений большинство выводов сохраняют свою силу.

Ответ на поставленный вопрос несложен, пока он относится к чистой математике (а речь идет именно об этом направлении).

Высшим критерием математической истины является логическая замкнутость, непротиворечивость системы аксиом и следующих из нее теорем. Чеканная логика - основной критерий истины в математике.

Соответствие данной математической конструкции эмпирическим наблюдениям или простым интуитивным представлениям является критерием менее важным, чем логическая завершенность.

Крупнейший математик Д.Гильберт посвятил значительную. часть своей жизни совершенствованию аксиоматики геометрии. Ему принадлежит известное основополагающее определение: "Мы мыслим три различные системы вещей: вещи первой системы мы называем точками о обозначаем A, B, C...; вещи второй системы мы называем прямыми и обозначаем a, b, c..."`. Для нас исключительно важно, что в этом фундаментальном определении (так же как и во всей цитируемой книге Гильберта) автор и не пытается представить наглядный образ точки или линии. Он постулирует и уточняет лишь отношение между этими объектами. Из этих отношений и следует определенная геометрическая конструкция.

-----------------------------------------------------------` Гильберт Д. Основания геометрии. м.; Л.: Гостехиздат, 1948. С.57. -----------------------------------------------------------

Приведенная цитата лаконично подытоживает (в определенном смысле) исследования центральных понятий геометрии. Основные ее понятия - идеализированные объекты, не обязательно связанные с конкретной реальностью или интуитивными представлениями. "Точкой" может быть идеализированный объект, лишенный протяженности во всех измерениях или в части измерений (линия или плоскость). Нулевые размеры точки не мешают ей обладать внутренней структурой и т.д.