Способы решения обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием метода Эйлера

Простейшим численным методом решения задачи Коши в виде (1)-(2) является метод Эйлера, иногда называемый также методом ломаных Эйлера.

Угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в точке есть . Найдём ординату касательной, соответствующей абсциссе . Так как уравнение касательной к кривой в точке имеет вид , то .

Угловой коэффициент в точке также находится из данного дифференциального уравнения . На следующем шаге получаем новую точку , причём .

Продолжая вычисления в соответствии с намеченной схемой, получим формулы Эйлера для п приближённых значений решения задачи Коши с начальными данными на сетке отрезка с шагом h:

.

Графической иллюстрацией приближённого решения является ломаная, соединяющая последовательно точки , которую называют ломаной Эйлера (см. рисунок).

Оценим погрешность данного метода на одном шаге. Примем без вывода следующее утверждение: погрешность на одном шаге имеет порядок и после п шагов погрешность вычисления значения возрастает не более чем в п раз. Погрешность метода Эйлера можно оценить неравенством

или представить в виде , где .

Это означает, что метод Эйлера имеет первый порядок точности. В частности, при уменьшении шага h в 10 раз, погрешность тоже уменьшится примерно в 10 раз.

Практическую оценку погрешности решения, найденного на сетке отрезка с шагом , в точке производят с помощью приближённого равенства – правила Рунге:

, где р – порядок точности численного метода. (5)

Таким образом, оценка полученного результата по формуле (5) вынуждает проводить вычисления дважды: один раз с шагом h, другой – с шагом h /2.

Пример 1. Решить задачу Коши

методом Эйлера на отрезке . Найти решение на равномерной сетке с шагом в четырёх узловых точках. Вычислить погрешность вычисления, сравнив его результат с точным значением (аналитическое решение задачи имеет вид ).

Решение.

Здесь . На основе этих данных имеем, используя формулы (4), получаем рекуррентные формулы

.

Последовательно находим

при ;

при ;

при ;

при .

Составим следующую таблицу:

	0,1	1,1	1,110342	0,01342
	0,2	1,22	1,242805	0,022805
	0,3	1,362	1,399718	0,037718
	0,4	1,5282	1,583649	0,055449

Таким образом, погрешность для приближённых вычислений с шагом 0,1 составляет .

Заметим, что если бы мы использовали формулы (5) (это целесообразно делать с применением специальных компьютерных программ), то величина достигает значения - ошибка метода Эйлера при вычислении с шагом при вычислении с шагом 0,05.

Задание.

Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка на равномерной сетке отрезка с шагом 0,2 методом Эйлера. Сравнить численное решение с точным значением. Результаты представить в виде таблиц, аналогичных приведённой в примере.

1) ;

2) ;

3) .